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Theorem proththd 40830
Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 15534), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
proththd.l (𝜑𝐾 < (2↑𝑁))
proththd.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
proththd (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem proththd
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11129 . . . 4 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 proththd.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnnn0d 11295 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
52, 4nnexpcld 12970 . 2 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6 proththd.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
7 proththd.l . 2 (𝜑𝐾 < (2↑𝑁))
8 proththd.p . . 3 (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
96nncnd 10980 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
105nncnd 10980 . . . . 5 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
119, 10mulcomd 10005 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) = ((2↑𝑁) · 𝐾))
1211oveq1d 6619 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
138, 12eqtrd 2655 . 2 (𝜑𝑃 = (((2↑𝑁) · 𝐾) + 1))
14 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
15 2prm 15329 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℙ)
173adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18 prmdvdsexpb 15352 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
1914, 16, 17, 18syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) ↔ 𝑝 = 2))
20 proththd.x . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
213, 6, 8proththdlem 40829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
2221simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2322nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
24 peano2cnm 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
27 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
28 2ne0 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3026, 27, 29divcan1d 10746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
3130eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
3231oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
33 zcn 11326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
3721simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3837nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4034, 36, 39expmuld 12951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4132, 40eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4241ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑(𝑃 − 1)) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
4342oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃))
4438adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
4544anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ))
4645ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
47 zexpcl 12815 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
5022nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℝ+)
5150ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5221simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 < 𝑃)
5352ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 < 𝑃)
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
5549, 51, 53, 54modexp2m1d 40828 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) mod 𝑃) = 1)
5643, 55eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)
57 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 𝑝) = ((𝑃 − 1) / 2))
5857eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 2 → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝 = 2) → (((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
6044, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑝 = 2) → ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0)
6160anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝜑𝑝 = 2)) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0))
6261ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0))
63 zexpcl 12815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 𝑝) ∈ ℕ0) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ)
6564zred 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℝ)
67 1red 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → 1 ∈ ℝ)
6867renegcld 10401 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → -1 ∈ ℝ)
69 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 = 𝑝 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
7069eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 2 → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 − 1) / 𝑝))
7170oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 2 → (𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)))
7271oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 2 → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃))
7372eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 2 → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 = 2) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
7675biimpa 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
77 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
7866, 68, 67, 67, 51, 76, 77modsub12d 12667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) = ((-1 − 1) mod 𝑃))
7978oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃))
80 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) ∈ ℤ → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
8164, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ)
8222ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
83 modgcd 15177 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
8481, 82, 83syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
8584adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → ((((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃))
86 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
87 negdi2 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(1 + 1) = (-1 − 1))
8887eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-1 − 1) = -(1 + 1))
8986, 86, 88mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1 − 1) = -(1 + 1)
90 1p1e2 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
9190negeqi 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -(1 + 1) = -2
9289, 91eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-1 − 1) = -2
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-1 − 1) = -2)
9493oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((-1 − 1) mod 𝑃) = (-2 mod 𝑃))
9594oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃))
96 nnnegz 11324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
972, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -2 ∈ ℤ)
98 modgcd 15177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
9997, 22, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = (-2 gcd 𝑃))
100 2z 11353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
10122nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
102 neggcd 15168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
103100, 101, 102sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = (2 gcd 𝑃))
104 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
105 oddm1d2 15008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
107106biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℕ → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ 2 ∥ 𝑃))
108 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
109107, 108impel 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
110 isoddgcd1 15363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
111104, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ (2 gcd 𝑃) = 1))
113109, 112mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
1141133adant2 1078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) → (2 gcd 𝑃) = 1)
11521, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 gcd 𝑃) = 1)
116103, 115eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (-2 gcd 𝑃) = 1)
11799, 116eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((-2 mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
11895, 117eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
119118ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((-1 − 1) mod 𝑃) gcd 𝑃) = 1)
12079, 85, 1193eqtr3d 2663 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)
12156, 120jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))
122121ex 450 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 = 2) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
123122reximdva 3011 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 = 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
124123ex 450 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1))))
12520, 124mpid 44 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
126125adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
12719, 126sylbid 230 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
128127ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (2↑𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑃 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑃) = 1)))
1295, 6, 7, 13, 128pockthg 15534 1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776   mod cmo 12608  cexp 12800  cdvds 14907   gcd cgcd 15140  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-odz 15394  df-phi 15395  df-pc 15466
This theorem is referenced by:  41prothprm  40835
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