MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prub 9672
Description: A positive fraction not in a positive real is an upper bound. Remark (1) of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prub (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prub
StepHypRef Expression
1 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐴𝐶𝐴))
21biimpcd 237 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴))
32adantl 480 . . . . 5 ((𝐴P𝐵𝐴) → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐴))
4 prcdnq 9671 . . . . 5 ((𝐴P𝐵𝐴) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐴))
53, 4jaod 393 . . . 4 ((𝐴P𝐵𝐴) → ((𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐴))
65con3d 146 . . 3 ((𝐴P𝐵𝐴) → (¬ 𝐶𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
76adantr 479 . 2 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
8 elprnq 9669 . . 3 ((𝐴P𝐵𝐴) → 𝐵Q)
9 ltsonq 9647 . . . 4 <Q Or Q
10 sotric 4975 . . . 4 (( <Q Or Q ∧ (𝐵Q𝐶Q)) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
119, 10mpan 701 . . 3 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
128, 11sylan 486 . 2 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
137, 12sylibrd 247 1 (((𝐴P𝐵𝐴) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐴𝐵 <Q 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577   Or wor 4948  Qcnq 9530   <Q cltq 9536  Pcnp 9537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-mi 9552  df-lti 9553  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-ltnq 9596  df-np 9659
This theorem is referenced by:  genpnnp  9683  psslinpr  9709  ltexprlem6  9719  ltexprlem7  9720  prlem936  9725  reclem4pr  9728
  Copyright terms: Public domain W3C validator