MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem1 24100
Description: Lemma for psercn 24101. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
Assertion
Ref Expression
psercnlem1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem1
StepHypRef Expression
1 psercn.m . . . 4 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
2 psercn.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
3 cnvimass 5449 . . . . . . . . . . . 12 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
4 absf 14019 . . . . . . . . . . . . 13 abs:ℂ⟶ℝ
54fdmi 6014 . . . . . . . . . . . 12 dom abs = ℂ
63, 5sseqtri 3621 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
72, 6eqsstri 3619 . . . . . . . . . 10 𝑆 ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98sselda 3587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
109abscld 14117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
11 readdcl 9971 . . . . . . 7 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 𝑅) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 𝑅) ∈ ℝ)
1312rehalfcld 11231 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) ∈ ℝ)
14 peano2re 10161 . . . . . . 7 ((abs‘𝑎) ∈ ℝ → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
1510, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
1713, 16ifclda 4097 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) ∈ ℝ)
181, 17syl5eqel 2702 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
19 0re 9992 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
219absge0d 14125 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
22 breq2 4622 . . . . . 6 ((((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → ((abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) ↔ (abs‘𝑎) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))))
23 breq2 4622 . . . . . 6 (((abs‘𝑎) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → ((abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 1) ↔ (abs‘𝑎) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))))
24 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝑆)
2524, 2syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
26 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . 13 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
27 elpreima 6298 . . . . . . . . . . . . 13 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅))))
284, 26, 27mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅)))
2925, 28sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅)))
3029simprd 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅))
31 iccssxr 12206 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
38 elico2 12187 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑅)))
3919, 37, 38sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑅)))
4030, 39mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑅))
4140simp3d 1073 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑅)
4241adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘𝑎) < 𝑅)
43 avglt1 11222 . . . . . . . 8 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2)))
4410, 43sylan 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2)))
4542, 44mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2))
4610ltp1d 10906 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 1))
4746adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ∈ ℝ) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 1))
4822, 23, 45, 47ifbothda 4100 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)))
4948, 1syl6breqr 4660 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
5020, 10, 18, 21, 49lelttrd 10147 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < 𝑀)
5118, 50elrpd 11821 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
52 breq1 4621 . . . 4 ((((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → ((((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) < 𝑅))
53 breq1 4621 . . . 4 (((abs‘𝑎) + 1) = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) → (((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅 ↔ if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) < 𝑅))
54 avglt2 11223 . . . . . 6 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5510, 54sylan 488 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅))
5642, 55mpbid 222 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2) < 𝑅)
5715rexrd 10041 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ*)
58 xrlenlt 10055 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) ↔ ¬ ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅))
5937, 57, 58syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) ↔ ¬ ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅))
60 0xr 10038 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
61 pnfxr 10044 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
62 elicc1 12169 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞)))
6360, 61, 62mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
6435, 63sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅𝑅 ≤ +∞))
6564simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑅)
67 ge0gtmnf 11954 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑅) → -∞ < 𝑅)
6837, 66, 67syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → -∞ < 𝑅)
69 xrre 11951 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < 𝑅𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1))) → 𝑅 ∈ ℝ)
7069expr 642 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((abs‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) ∧ -∞ < 𝑅) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) → 𝑅 ∈ ℝ))
7137, 15, 68, 70syl21anc 1322 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑅 ≤ ((abs‘𝑎) + 1) → 𝑅 ∈ ℝ))
7259, 71sylbird 250 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (¬ ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅𝑅 ∈ ℝ))
7372con1d 139 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (¬ 𝑅 ∈ ℝ → ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅))
7473imp 445 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ ¬ 𝑅 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) + 1) < 𝑅)
7552, 53, 56, 74ifbothda 4100 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1)) < 𝑅)
761, 75syl5eqbr 4653 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
7751, 49, 763jca 1240 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  cima 5082   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8298  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  +∞cpnf 10023  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027   / cdiv 10636  2c2 11022  0cn0 11244  +crp 11784  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  seqcseq 12749  cexp 12808  abscabs 13916  cli 14157  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161
This theorem is referenced by:  psercn  24101  pserdvlem1  24102  pserdvlem2  24103  pserdv  24104
  Copyright terms: Public domain W3C validator