MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 24375
Description: Lemma for psercn 24377. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 5641 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 14274 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6211 . . . . . . . 8 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 3776 . . . . . . 7 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 3774 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3742 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 14372 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
108absge0d 14380 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13 0re 10230 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 12064 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 12428 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1428 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6204 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20 elpreima 6498 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 701 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2758 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2423cnbl0 22776 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2839 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27 icossicc 12451 . . . 4 (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28 imass2 5657 . . . 4 ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstr3d 3779 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 12447 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24368 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3740 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 12372 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
40 df-icc 12373 . . . . . 6 [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤𝑣)})
41 xrlelttr 12178 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝑀𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 12385 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44 imass2 5657 . . . 4 ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4645, 1syl6sseqr 3791 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
4726, 30, 463jca 1123 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  {crab 3052  wss 3713   class class class wbr 4802  cmpt 4879  ccnv 5263  dom cdm 5264  cima 5267  ccom 5268   Fn wfn 6042  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  supcsup 8509  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126   + caddc 10129   · cmul 10131  +∞cpnf 10261  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265  cmin 10456  0cn0 11482  +crp 12023  [,)cico 12368  [,]cicc 12369  seqcseq 12993  cexp 13052  abscabs 14171  cli 14412  Σcsu 14613  ballcbl 19933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-xadd 12138  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941
This theorem is referenced by:  psercn  24377  pserdvlem2  24379  pserdv  24380
  Copyright terms: Public domain W3C validator