Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 24375
 Description: Lemma for psercn 24377. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 5641 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 14274 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6211 . . . . . . . 8 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 3776 . . . . . . 7 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 3774 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3742 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 14372 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
108absge0d 14380 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13 0re 10230 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 12064 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 12428 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1428 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6204 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20 elpreima 6498 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 701 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2758 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2423cnbl0 22776 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2839 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27 icossicc 12451 . . . 4 (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28 imass2 5657 . . . 4 ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstr3d 3779 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 12447 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24368 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3740 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 12372 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
40 df-icc 12373 . . . . . 6 [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤𝑣)})
41 xrlelttr 12178 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝑀𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 12385 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44 imass2 5657 . . . 4 ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4645, 1syl6sseqr 3791 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
4726, 30, 463jca 1123 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  {crab 3052   ⊆ wss 3713   class class class wbr 4802   ↦ cmpt 4879  ◡ccnv 5263  dom cdm 5264   “ cima 5267   ∘ ccom 5268   Fn wfn 6042  ⟶wf 6043  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  supcsup 8509  ℂcc 10124  ℝcr 10125  0cc0 10126   + caddc 10129   · cmul 10131  +∞cpnf 10261  ℝ*cxr 10263   < clt 10264   ≤ cle 10265   − cmin 10456  ℕ0cn0 11482  ℝ+crp 12023  [,)cico 12368  [,]cicc 12369  seqcseq 12993  ↑cexp 13052  abscabs 14171   ⇝ cli 14412  Σcsu 14613  ballcbl 19933 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-xadd 12138  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-seq 12994  df-exp 13053  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941 This theorem is referenced by:  psercn  24377  pserdvlem2  24379  pserdv  24380
 Copyright terms: Public domain W3C validator