MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psercnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psercnlem2 24082
Description: Lemma for psercn 24084. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercnlem2.i ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
Assertion
Ref Expression
psercnlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑦   𝑗,𝐺,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem psercnlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psercn.s . . . . . . 7 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
2 cnvimass 5444 . . . . . . . 8 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
3 absf 14011 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
43fdmi 6009 . . . . . . . 8 dom abs = ℂ
52, 4sseqtri 3616 . . . . . . 7 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
61, 5eqsstri 3614 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
87sselda 3583 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
98abscld 14109 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
108absge0d 14117 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
11 psercnlem2.i . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
1211simp2d 1072 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
13 0re 9984 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
1411simp1d 1071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1514rpxrd 11817 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
16 elico2 12179 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
1713, 15, 16sylancr 694 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀) ↔ ((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑎) ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀)))
189, 10, 12, 17mpbir3and 1243 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))
19 ffn 6002 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
20 elpreima 6293 . . . . 5 (abs Fn ℂ → (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀))))
213, 19, 20mp2b 10 . . . 4 (𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)) ↔ (𝑎 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑎) ∈ (0[,)𝑀)))
228, 18, 21sylanbrc 697 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (abs “ (0[,)𝑀)))
23 eqid 2621 . . . . 5 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2423cnbl0 22487 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2515, 24syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
2622, 25eleqtrd 2700 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀))
27 icossicc 12202 . . . 4 (0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀)
28 imass2 5460 . . . 4 ((0[,)𝑀) ⊆ (0[,]𝑀) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
2927, 28mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,)𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
3025, 29eqsstr3d 3619 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)))
31 iccssxr 12198 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
32 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
33 pserf.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 pserf.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
3532, 33, 34radcnvcl 24075 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3635adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
3731, 36sseldi 3581 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3811simp3d 1073 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
39 df-ico 12123 . . . . . 6 [,) = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤 < 𝑣)})
40 df-icc 12124 . . . . . 6 [,] = (𝑢 ∈ ℝ*, 𝑣 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑢𝑤𝑤𝑣)})
41 xrlelttr 11931 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝑀𝑀 < 𝑅) → 𝑧 < 𝑅))
4239, 40, 41ixxss2 12136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑀 < 𝑅) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
4337, 38, 42syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅))
44 imass2 5460 . . . 4 ((0[,]𝑀) ⊆ (0[,)𝑅) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4543, 44syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ (abs “ (0[,)𝑅)))
4645, 1syl6sseqr 3631 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆)
4726, 30, 463jca 1240 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑀) ⊆ (abs “ (0[,]𝑀)) ∧ (abs “ (0[,]𝑀)) ⊆ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077  ccom 5078   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  0cn0 11236  +crp 11776  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  seqcseq 12741  cexp 12800  abscabs 13908  cli 14149  Σcsu 14350  ballcbl 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  psercn  24084  pserdvlem2  24086  pserdv  24087
  Copyright terms: Public domain W3C validator