MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv 24100
Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23591 . . . . 5 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssid 3608 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
4 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
5 pserf.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
6 pserf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
7 pserf.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 psercn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
9 psercn.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
104, 5, 6, 7, 8, 9psercn 24097 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
11 cncff 22615 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
13 cnvimass 5449 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
14 absf 14018 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
1514fdmi 6014 . . . . . . . . . . 11 dom abs = ℂ
1613, 15sseqtri 3621 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
178, 16eqsstri 3619 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
193, 12, 18dvbss 23584 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
202a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
2112adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
2217a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
23 pserdv.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
24 cnxmet 22495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
26 0cnd 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
2718sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
2827abscld 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
294, 5, 6, 7, 8, 9psercnlem1 24096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
3029simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3130rpred 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
3228, 31readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
33 0red 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
3427absge0d 14124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
3528, 30ltaddrpd 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3633, 28, 32, 34, 35lelttrd 10146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3732, 36elrpd 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
3837rphalfcld 11835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
3938rpxrd 11824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
40 blssm 22142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4125, 26, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4223, 41syl5eqss 3633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4443cnfldtop 22506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
4543cnfldtopon 22505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4645toponunii 20652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4746restid 16022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
4948eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
5043, 49dvres 23594 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
5120, 21, 22, 42, 50syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
52 resss 5386 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
5351, 52syl6eqss 3639 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
54 dmss 5288 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
564, 5, 6, 7, 8, 9pserdvlem1 24098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
574, 5, 6, 7, 8, 56psercnlem2 24095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
5857simp1d 1071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
5958, 23syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝐵)
604, 5, 6, 7, 8, 9, 23pserdvlem2 24099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
6160dmeqd 5291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
62 dmmptg 5596 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V → dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵)
63 sumex 14359 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V)
6562, 64mprg 2921 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵
6661, 65syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
6759, 66eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵)))
6855, 67sseldd 3588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
6968ex 450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎𝑆𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹)))
7069ssrdv 3593 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
7119, 70eqssd 3604 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
7271feq2d 5993 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
731, 72mpbii 223 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
7473feqmptd 6211 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
75 ffun 6010 . . . . . . 7 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
761, 75mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
77 funssfv 6171 . . . . . 6 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7876, 53, 67, 77syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7960fveq1d 6155 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎))
80 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑘) = (𝑎𝑘))
8180oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8281sumeq2sdv 14375 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
83 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
84 sumex 14359 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) ∈ V
8582, 83, 84fvmpt 6244 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8659, 85syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8778, 79, 863eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8887mpteq2dva 4709 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
8974, 88eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
90 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑘) = (𝑦𝑘))
9190oveq2d 6626 . . . 4 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
9291sumeq2sdv 14375 . . 3 (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
9392cbvmptv 4715 . 2 (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
9489, 93syl6eq 2671 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189  wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  cres 5081  cima 5082  ccom 5083  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8297  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  *cxr 10024   < clt 10025  cmin 10217   / cdiv 10635  2c2 11021  0cn0 11243  +crp 11783  [,)cico 12126  [,]cicc 12127  seqcseq 12748  cexp 12807  abscabs 13915  cli 14156  Σcsu 14357  t crest 16009  TopOpenctopn 16010  ∞Metcxmt 19659  ballcbl 19661  fldccnfld 19674  Topctop 20626  intcnt 20740  cnccncf 22598   D cdv 23546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-ulm 24048
This theorem is referenced by:  pserdv2  24101
  Copyright terms: Public domain W3C validator