Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdv 24100
 Description: The derivative of a power series on its region of convergence. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdv (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdv
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23591 . . . . 5 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
2 ssid 3608 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
4 pserf.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
5 pserf.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
6 pserf.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
7 pserf.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
8 psercn.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
9 psercn.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
104, 5, 6, 7, 8, 9psercn 24097 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
11 cncff 22615 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
13 cnvimass 5449 . . . . . . . . . . 11 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
14 absf 14018 . . . . . . . . . . . 12 abs:ℂ⟶ℝ
1514fdmi 6014 . . . . . . . . . . 11 dom abs = ℂ
1613, 15sseqtri 3621 . . . . . . . . . 10 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
178, 16eqsstri 3619 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
193, 12, 18dvbss 23584 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) ⊆ 𝑆)
202a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ⊆ ℂ)
2112adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
2217a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
23 pserdv.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
24 cnxmet 22495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
26 0cnd 9984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
2718sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
2827abscld 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
294, 5, 6, 7, 8, 9psercnlem1 24096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
3029simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
3130rpred 11823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
3228, 31readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ)
33 0red 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℝ)
3427absge0d 14124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ (abs‘𝑎))
3528, 30ltaddrpd 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3633, 28, 32, 34, 35lelttrd 10146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 < ((abs‘𝑎) + 𝑀))
3732, 36elrpd 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) + 𝑀) ∈ ℝ+)
3837rphalfcld 11835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
3938rpxrd 11824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
40 blssm 22142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4125, 26, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
4223, 41syl5eqss 3633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4443cnfldtop 22506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
4543cnfldtopon 22505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4645toponunii 20652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4746restid 16022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
4844, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
4948eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
5043, 49dvres 23594 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ)) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
5120, 21, 22, 42, 50syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
52 resss 5386 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂ D 𝐹) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹)
5351, 52syl6eqss 3639 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹))
54 dmss 5288 . . . . . . . . . . 11 ((ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
564, 5, 6, 7, 8, 9pserdvlem1 24098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
574, 5, 6, 7, 8, 56psercnlem2 24095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
5857simp1d 1071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
5958, 23syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝐵)
604, 5, 6, 7, 8, 9, 23pserdvlem2 24099 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
6160dmeqd 5291 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
62 dmmptg 5596 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦𝐵 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V → dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵)
63 sumex 14359 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐵 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V)
6562, 64mprg 2921 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = 𝐵
6661, 65syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → dom (ℂ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
6759, 66eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵)))
6855, 67sseldd 3588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹))
6968ex 450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎𝑆𝑎 ∈ dom (ℂ D 𝐹)))
7069ssrdv 3593 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
7119, 70eqssd 3604 . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑆)
7271feq2d 5993 . . . . 5 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ))
731, 72mpbii 223 . . . 4 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑆⟶ℂ)
7473feqmptd 6211 . . 3 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)))
75 ffun 6010 . . . . . . 7 ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℂ D 𝐹))
761, 75mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → Fun (ℂ D 𝐹))
77 funssfv 6171 . . . . . 6 ((Fun (ℂ D 𝐹) ∧ (ℂ D (𝐹𝐵)) ⊆ (ℂ D 𝐹) ∧ 𝑎 ∈ dom (ℂ D (𝐹𝐵))) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7876, 53, 67, 77syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎))
7960fveq1d 6155 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D (𝐹𝐵))‘𝑎) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎))
80 oveq1 6617 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝑘) = (𝑎𝑘))
8180oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8281sumeq2sdv 14375 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑎 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
83 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
84 sumex 14359 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) ∈ V
8582, 83, 84fvmpt 6244 . . . . . 6 (𝑎𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8659, 85syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8778, 79, 863eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑎) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)))
8887mpteq2dva 4709 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝑆 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑎)) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
8974, 88eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))))
90 oveq1 6617 . . . . 5 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑘) = (𝑦𝑘))
9190oveq2d 6626 . . . 4 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
9291sumeq2sdv 14375 . . 3 (𝑎 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
9392cbvmptv 4715 . 2 (𝑎𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑎𝑘))) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
9489, 93syl6eq 2671 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ◡ccnv 5078  dom cdm 5079   ↾ cres 5081   “ cima 5082   ∘ ccom 5083  Fun wfun 5846  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  supcsup 8297  ℂcc 9885  ℝcr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  ℝ*cxr 10024   < clt 10025   − cmin 10217   / cdiv 10635  2c2 11021  ℕ0cn0 11243  ℝ+crp 11783  [,)cico 12126  [,]cicc 12127  seqcseq 12748  ↑cexp 12807  abscabs 13915   ⇝ cli 14156  Σcsu 14357   ↾t crest 16009  TopOpenctopn 16010  ∞Metcxmt 19659  ballcbl 19661  ℂfldccnfld 19674  Topctop 20626  intcnt 20740  –cn→ccncf 22598   D cdv 23546 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-shft 13748  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-lp 20859  df-perf 20860  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-limc 23549  df-dv 23550  df-ulm 24048 This theorem is referenced by:  pserdv2  24101
 Copyright terms: Public domain W3C validator