MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem2 24163
Description: Lemma for pserdv 24164. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2
Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11707 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 cnelprrecn 10014 . . 3 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 0zd 11374 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5 fzfid 12755 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 pserf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
87ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 pserdv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10 cnxmet 22557 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
12 0cnd 10018 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
13 pserf.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
14 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
15 psercn.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
16 psercn.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
176, 13, 7, 14, 15, 16pserdvlem1 24162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
1817simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
1918rpxrd 11858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
20 blssm 22204 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
2111, 12, 19, 20syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
229, 21syl5eqss 3641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2423sselda 3595 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
256, 8, 24psergf 24147 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
26 elfznn0 12417 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
27 ffvelrn 6343 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2an 494 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
295, 28fsumcl 14445 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
30 eqid 2620 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))
3129, 30fmptd 6371 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
32 cnex 10002 . . . . 5 ℂ ∈ V
33 ovex 6663 . . . . . 6 (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ V
349, 33eqeltri 2695 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3532, 34elmap 7871 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
3631, 35sylibr 224 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
37 eqid 2620 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
3836, 37fmptd 6371 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
396, 13, 7, 14, 15, 16psercn 24161 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
40 cncff 22677 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
4241adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
436, 13, 7, 14, 15, 17psercnlem2 24159 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
4443simp2d 1072 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
459, 44syl5eqss 3641 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
4643simp3d 1073 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
4745, 46sstrd 3605 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵𝑆)
4842, 47fssresd 6058 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
49 0zd 11374 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℤ)
50 eqidd 2621 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
517ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5222sselda 3595 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
536, 51, 52psergf 24147 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6345 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
5552abscld 14156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
5655rexrd 10074 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
5719adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
58 iccssxr 12241 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
596, 7, 14radcnvcl 24152 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sseldi 3593 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
6160ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62 0cn 10017 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
63 eqid 2620 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6463cnmetdval 22555 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6552, 62, 64sylancl 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6652subid1d 10366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
6766fveq2d 6182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
6865, 67eqtrd 2654 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
69 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
7069, 9syl6eleq 2709 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
72 0cnd 10018 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℂ)
73 elbl3 22178 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7471, 57, 72, 52, 73syl22anc 1325 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7570, 74mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7668, 75eqbrtrrd 4668 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7717simp3d 1073 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7877adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7956, 57, 61, 76, 78xrlttrd 11975 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
806, 51, 14, 52, 79radcnvlt2 24154 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ∈ dom ⇝ )
811, 49, 50, 54, 80isumclim2 14470 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8247sselda 3595 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑆)
83 fveq2 6178 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
8483fveq1d 6180 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8584sumeq2sdv 14416 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
86 sumex 14399 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ V
8785, 13, 86fvmpt 6269 . . . . 5 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8882, 87syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8981, 88breqtrrd 4672 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ (𝐹𝑧))
90 oveq2 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
9190sumeq1d 14412 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
9291mpteq2dv 4736 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9334mptex 6471 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ V
9492, 37, 93fvmpt 6269 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9594adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9695fveq1d 6180 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
9783fveq1d 6180 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
9897sumeq2sdv 14416 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
99 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
100 sumex 14399 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 6269 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
102101ad2antlr 762 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
103 eqidd 2621 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
104 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
105104, 1syl6eleq 2709 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
10653adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
107 elfznn0 12417 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
108 ffvelrn 6343 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
109106, 107, 108syl2an 494 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
110103, 105, 109fsumser 14442 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
11196, 102, 1103eqtrd 2658 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
112111mpteq2dva 4735 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
113 0z 11373 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
114 seqfn 12796 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
115113, 114ax-mp 5 . . . . . 6 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0)
1161fneq2i 5974 . . . . . 6 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
117115, 116mpbir 221 . . . . 5 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0
118 dffn5 6228 . . . . 5 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
119117, 118mpbi 220 . . . 4 seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
120112, 119syl6eqr 2672 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺𝑧)))
121 fvres 6194 . . . 4 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
122121adantl 482 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
12389, 120, 1223brtr4d 4676 . 2 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹𝐵)‘𝑧))
12494adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
125124oveq2d 6651 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))))
126 eqid 2620 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
127126cnfldtop 22568 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
128126cnfldtopon 22567 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
129128toponunii 20702 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
130129restid 16075 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
131127, 130ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
132131eqcomi 2629 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1332a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
134126cnfldtopn 22566 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
135134blopn 22286 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
13611, 12, 19, 135syl3anc 1324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
1379, 136syl5eqel 2703 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
138137adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
139 fzfid 12755 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
1407ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1411403ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14222adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
143142sselda 3595 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1441433adant2 1078 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1456, 141, 144psergf 24147 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
1461073ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
147145, 146ffvelrnd 6346 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
1482a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
149 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
150140, 107, 149syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
151150adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
152143adantlr 750 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
153 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
154107adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
155 expcl 12861 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
156153, 154, 155syl2anr 495 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
157152, 156syldan 487 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
158151, 157mulcld 10045 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
159 ovexd 6665 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
160 c0ex 10019 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
161 ovex 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
162160, 161ifex 4147 . . . . . . . . . 10 if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
164162a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
165 dvexp2 23698 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
166154, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
16722ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
168137ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
169148, 156, 164, 166, 167, 132, 126, 168dvmptres 23707 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
170148, 157, 163, 169, 150dvmptcmul 23708 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
171148, 158, 159, 170dvmptcl 23703 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
1721713impa 1257 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
173107ad2antlr 762 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1746pserval2 24146 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
175152, 173, 174syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
176175mpteq2dva 4735 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
177176oveq2d 6651 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))))
178177, 170eqtrd 2654 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
179132, 126, 133, 138, 139, 147, 172, 178dvmptfsum 23719 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
180125, 179eqtrd 2654 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
181180mpteq2dva 4735 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
182 nnssnn0 11280 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
183 resmpt 5437 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
184182, 183ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
185 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑖) = (𝑥𝑖))
186185oveq2d 6651 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)))
187186mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))))
188 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
189188fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
190188, 189oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
191 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑥𝑖) = (𝑥𝑛))
192190, 191oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
193192cbvmptv 4741 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
194 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
195194fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
196194, 195oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
197 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
198 ovex 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
199196, 197, 198fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
200199oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
201200mpteq2ia 4731 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
202193, 201eqtr4i 2645 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)))
203187, 202syl6eq 2670 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
204203cbvmptv 4741 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
205 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))
206205fveq1d 6180 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
207206sumeq2sdv 14416 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
208207cbvmptv 4741 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
209 peano2nn0 11318 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
210209adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
211210nn0cnd 11338 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
212140, 210ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
213211, 212mulcld 10045 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
214213, 197fmptd 6371 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
215 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗))
216215seqeq3d 12792 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)))
217216eleq1d 2684 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
218217cbvrabv 3194 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
219218supeq1i 8338 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
220205seqeq3d 12792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)))
221220fveq1d 6180 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
222221cbvmptv 4741 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
223 fveq2 6178 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
224223mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
225222, 224syl5eq 2666 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
226225cbvmptv 4741 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
22718rpred 11857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
2286, 13, 7, 14, 15, 16psercnlem1 24160 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
229228simp1d 1071 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
230229rpxrd 11858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
231204, 214, 219radcnvcl 24152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
23258, 231sseldi 3593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
233228simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
234 cnvimass 5473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
235 absf 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs:ℂ⟶ℝ
236235fdmi 6039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom abs = ℂ
237234, 236sseqtri 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
23815, 237eqsstri 3627 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ⊆ ℂ
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
240239sselda 3595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
241240abscld 14156 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
242229rpred 11857 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
243 avglt2 11256 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
244241, 242, 243syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
245233, 244mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
246229rpge0d 11861 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
247242, 246absidd 14142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
248229rpcnd 11859 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
249 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑖) = (𝑀𝑖))
250249oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
251250mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
252 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎𝑖) = (𝑤𝑖))
253252oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)))
254253mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
255254cbvmptv 4741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
256 nn0ex 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
257256mptex 6471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) ∈ V
258251, 255, 257fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
259248, 258syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
260259seqeq3d 12792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))))
261 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
262 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
263261, 262oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
264263cbvmptv 4741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
265 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
266265oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
267266mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
268264, 267syl5eq 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
269268cbvmptv 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
2706, 269eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
271 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
272271seqeq3d 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
273272eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
274273cbvrabv 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }
275274supeq1i 8338 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
27614, 275eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
277 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
2787adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
279228simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
280247, 279eqbrtrd 4666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
281270, 276, 277, 278, 248, 280dvradcnv 24156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
282260, 281eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
283204, 214, 219, 248, 282radcnvle 24155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
284247, 283eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
28519, 230, 232, 245, 284xrltletrd 11977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
286204, 208, 214, 219, 226, 227, 285, 45pserulm 24157 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
28722sselda 3595 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
288 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑖) = (𝑦𝑖))
289288oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
290289mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
291 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))
292256mptex 6471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) ∈ V
293290, 291, 292fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
294287, 293syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
295294adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
296295fveq1d 6180 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
297 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
298297fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
299297, 298oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
300 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦𝑖) = (𝑦𝑘))
301299, 300oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
302 eqid 2620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
303 ovex 6663 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
304301, 302, 303fvmpt 6269 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
305304adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
306296, 305eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
307306sumeq2dv 14414 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
308307mpteq2dva 4735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
309286, 308breqtrd 4670 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
310 nnuz 11708 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
311 1e0p1 11537 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
312311fveq2i 6181 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
313310, 312eqtri 2642 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
314 1zzd 11393 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℤ)
315 0zd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ ℤ)
316 peano2nn0 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
317316nn0cnd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
318317adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
3197ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
320 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
321319, 316, 320syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
322318, 321mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
323287, 155sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
324322, 323mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
325324, 302fmptd 6371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))):ℕ0⟶ℂ)
326294feq1d 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))):ℕ0⟶ℂ))
327325, 326mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
328327ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
3291, 315, 328serf 12812 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
330329ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
331330an32s 845 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
332 eqid 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))
333331, 332fmptd 6371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
33432, 34elmap 7871 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
335333, 334sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
336 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
337335, 336fmptd 6371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
338 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
339338nnne0d 11050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
340339neneqd 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
341340iffalsed 4088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
342341oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
343342sumeq2i 14410 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
344 1zzd 11393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 1 ∈ ℤ)
345 nnz 11384 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
346345ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
347278ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
348338nnnn0d 11336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
349347, 348, 149syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
350338adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
351350nncnd 11021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
352287adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
353 nnm1nn0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
354338, 353syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
355 expcl 12861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
356352, 354, 355syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
357351, 356mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
358349, 357mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
359 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
360 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
361 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
362361oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
363360, 362oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
364359, 363oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
365344, 344, 346, 358, 364fsumshftm 14494 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
366343, 365syl5eq 2666 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
367311oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
368 fzp1ss 12377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
369113, 368ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
370367, 369eqsstri 3627 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
371370a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
372342adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
373372, 358eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
374 eldif 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
375 elfzuz2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
376 elfzp12 12403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (ℤ‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
377375, 376syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
378377ibi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
379378ord 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
380379con1d 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
381380imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
382374, 381sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
383367difeq2i 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
384382, 383eleq2s 2717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
385384adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
386385iftrued 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
387386oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · 0))
388 eldifi 3724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
389388, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
390347, 389, 149syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
391390mul01d 10220 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · 0) = 0)
392387, 391eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
393 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
394371, 373, 392, 393fsumss 14437 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
395 1m1e0 11074 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
396395oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
397396sumeq1i 14409 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
398 elfznn0 12417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
399398adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
400399, 304syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
401352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
402401, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
403402fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
404347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
405 peano2nn0 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
406399, 405syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
407404, 406ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
408406nn0cnd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
409 expcl 12861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
410352, 398, 409syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
411407, 408, 410mul12d 10230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
412399nn0cnd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
413 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
414 pncan 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
415412, 413, 414sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
416415oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦𝑘))
417416oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘)))
418417oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))))
419408, 407, 410mulassd 10048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
420411, 418, 4193eqtr4d 2664 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
421400, 403, 4203eqtr4d 2664 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
422 nnm1nn0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
423422adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
424423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
425424, 1syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ‘0))
426416, 410eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
427408, 426mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
428407, 427mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
429421, 425, 428fsumser 14442 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
430397, 429syl5eq 2666 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
431366, 394, 4303eqtr3d 2662 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
432431mpteq2dva 4735 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
433 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
434433mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
43534mptex 6471 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
436434, 336, 435fvmpt 6269 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
437423, 436syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
438432, 437eqtr4d 2657 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
439438mpteq2dva 4735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
4401, 313, 4, 314, 337, 439ulmshft 24125 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
441309, 440mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
442184, 441syl5eqbr 4679 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
443 1nn0 11293 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
444443a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
445 fzfid 12755 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
446171an32s 845 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
447445, 446fsumcl 14445 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
448 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
449447, 448fmptd 6371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
45032, 34elmap 7871 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
451449, 450sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
452 eqid 2620 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
453451, 452fmptd 6371 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
4541, 310, 444, 453ulmres 24123 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
455442, 454mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
456181, 455eqbrtrd 4666 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
4571, 3, 4, 38, 48, 123, 456ulmdv 24138 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  {crab 2913  Vcvv 3195  cdif 3564  wss 3567  ifcif 4077  {cpr 4170   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ccnv 5103  dom cdm 5104  cres 5106  cima 5107  ccom 5108   Fn wfn 5871  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842  supcsup 8331  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  +∞cpnf 10056  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817  [,)cico 12162  [,]cicc 12163  ...cfz 12311  seqcseq 12784  cexp 12843  abscabs 13955  cli 14196  Σcsu 14397  t crest 16062  TopOpenctopn 16063  ∞Metcxmt 19712  ballcbl 19714  fldccnfld 19727  Topctop 20679  cnccncf 22660   D cdv 23608  𝑢culm 24111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-ulm 24112
This theorem is referenced by:  pserdv  24164
  Copyright terms: Public domain W3C validator