MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem2 24943
Description: Lemma for pserdv 24944. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2
Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12268 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 cnelprrecn 10618 . . 3 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 0zd 11981 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5 fzfid 13329 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 pserf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
87ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 pserdv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10 cnxmet 23308 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
11 0cnd 10622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
12 pserf.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
13 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
14 psercn.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
15 psercn.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
166, 12, 7, 13, 14, 15pserdvlem1 24942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
1716simp1d 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
1817rpxrd 12420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
19 blssm 22955 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
2010, 11, 18, 19mp3an2i 1457 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
219, 20eqsstrid 4012 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2322sselda 3964 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
246, 8, 23psergf 24927 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
25 elfznn0 12988 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
26 ffvelrn 6841 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2724, 25, 26syl2an 595 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
285, 27fsumcl 15078 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2928fmpttd 6871 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
30 cnex 10606 . . . . 5 ℂ ∈ V
319ovexi 7179 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3230, 31elmap 8424 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
3329, 32sylibr 235 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
3433fmpttd 6871 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
356, 12, 7, 13, 14, 15psercn 24941 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
36 cncff 23428 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
3735, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
3837adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
396, 12, 7, 13, 14, 16psercnlem2 24939 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
4039simp2d 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
419, 40eqsstrid 4012 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
4239simp3d 1136 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
4341, 42sstrd 3974 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵𝑆)
4438, 43fssresd 6538 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
45 0zd 11981 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℤ)
46 eqidd 2819 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
477ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4821sselda 3964 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
496, 47, 48psergf 24927 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6843 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
5148abscld 14784 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
5251rexrd 10679 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
5318adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
54 iccssxr 12807 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
556, 7, 13radcnvcl 24932 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
5654, 55sseldi 3962 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
5756ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
58 0cn 10621 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
59 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6059cnmetdval 23306 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6148, 58, 60sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6248subid1d 10974 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
6362fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
6461, 63eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
65 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
6665, 9eleqtrdi 2920 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
6710a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
68 0cnd 10622 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℂ)
69 elbl3 22929 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7067, 53, 68, 48, 69syl22anc 834 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7166, 70mpbid 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7264, 71eqbrtrrd 5081 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7316simp3d 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7473adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7552, 53, 57, 72, 74xrlttrd 12540 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
766, 47, 13, 48, 75radcnvlt2 24934 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ∈ dom ⇝ )
771, 45, 46, 50, 76isumclim2 15101 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
7843sselda 3964 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑆)
79 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
8079fveq1d 6665 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8180sumeq2sdv 15049 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
82 sumex 15032 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ V
8381, 12, 82fvmpt 6761 . . . . 5 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8478, 83syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8577, 84breqtrrd 5085 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ (𝐹𝑧))
86 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
8786sumeq1d 15046 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
8887mpteq2dv 5153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
89 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9031mptex 6977 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ V
9188, 89, 90fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9291adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9392fveq1d 6665 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
9479fveq1d 6665 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
9594sumeq2sdv 15049 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
96 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
97 sumex 15032 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
9998ad2antlr 723 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
100 eqidd 2819 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
101 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
102101, 1eleqtrdi 2920 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
10349adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
104 elfznn0 12988 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
105 ffvelrn 6841 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
106103, 104, 105syl2an 595 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
107100, 102, 106fsumser 15075 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
10893, 99, 1073eqtrd 2857 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
109108mpteq2dva 5152 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
110 0z 11980 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
111 seqfn 13369 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . 6 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0)
1131fneq2i 6444 . . . . . 6 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
114112, 113mpbir 232 . . . . 5 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0
115 dffn5 6717 . . . . 5 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
116114, 115mpbi 231 . . . 4 seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
117109, 116syl6eqr 2871 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺𝑧)))
118 fvres 6682 . . . 4 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
119118adantl 482 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
12085, 117, 1193brtr4d 5089 . 2 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹𝐵)‘𝑧))
12191adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
122121oveq2d 7161 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))))
123 eqid 2818 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
124123cnfldtopon 23318 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
125124toponrestid 21457 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1262a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
127123cnfldtopn 23317 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
128127blopn 23037 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
12910, 11, 18, 128mp3an2i 1457 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
1309, 129eqeltrid 2914 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
131130adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
132 fzfid 13329 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
1337ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1341333ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
13521adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
136135sselda 3964 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1371363adant2 1123 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1386, 134, 137psergf 24927 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
1391043ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
140138, 139ffvelrnd 6844 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
1412a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
142 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
143133, 104, 142syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
144143adantr 481 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
145136adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
146 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
147104adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
148 expcl 13435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
149146, 147, 148syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
150145, 149syldan 591 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
151144, 150mulcld 10649 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
152 ovexd 7180 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
153 c0ex 10623 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
154 ovex 7178 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
155153, 154ifex 4511 . . . . . . . . . 10 if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
156155a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
157155a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
158 dvexp2 24478 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
159147, 158syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
16021ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
161130ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
162141, 149, 157, 159, 160, 125, 123, 161dvmptres 24487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
163141, 150, 156, 162, 143dvmptcmul 24488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
164141, 151, 152, 163dvmptcl 24483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
1651643impa 1102 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
166104ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1676pserval2 24926 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
168145, 166, 167syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
169168mpteq2dva 5152 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
170169oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))))
171170, 163eqtrd 2853 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
172125, 123, 126, 131, 132, 140, 165, 171dvmptfsum 24499 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
173122, 172eqtrd 2853 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
174173mpteq2dva 5152 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
175 nnssnn0 11888 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
176 resmpt 5898 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
177175, 176ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
178 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑖) = (𝑥𝑖))
179178oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)))
180179mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))))
181 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
182 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
183181, 182oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
184 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑥𝑖) = (𝑥𝑛))
185183, 184oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
186185cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
187 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
188 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
189187, 188oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
190 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
191 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
192189, 190, 191fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
193192oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
194193mpteq2ia 5148 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
195186, 194eqtr4i 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)))
196180, 195syl6eq 2869 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
197196cbvmptv 5160 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
198 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))
199198fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
200199sumeq2sdv 15049 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
201200cbvmptv 5160 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
202 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
203202adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
204203nn0cnd 11945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
205133, 203ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
206204, 205mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
207206fmpttd 6871 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
208 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗))
209208seqeq3d 13365 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)))
210209eleq1d 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
211210cbvrabv 3489 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
212211supeq1i 8899 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
213198seqeq3d 13365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)))
214213fveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
215214cbvmptv 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
216 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
217216mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
218215, 217syl5eq 2865 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
219218cbvmptv 5160 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
22017rpred 12419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
2216, 12, 7, 13, 14, 15psercnlem1 24940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
222221simp1d 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
223222rpxrd 12420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
224197, 207, 212radcnvcl 24932 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
22554, 224sseldi 3962 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
226221simp2d 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
227 cnvimass 5942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
228 absf 14685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs:ℂ⟶ℝ
229228fdmi 6517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom abs = ℂ
230227, 229sseqtri 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
23114, 230eqsstri 3998 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ⊆ ℂ
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
233232sselda 3964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
234233abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
235222rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
236 avglt2 11864 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
237234, 235, 236syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
238226, 237mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
239222rpge0d 12423 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
240235, 239absidd 14770 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
241222rpcnd 12421 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
242 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑖) = (𝑀𝑖))
243242oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
244243mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
245 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎𝑖) = (𝑤𝑖))
246245oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)))
247246mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
248247cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
249 nn0ex 11891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
250249mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) ∈ V
251244, 248, 250fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
252241, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
253252seqeq3d 13365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))))
254 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
255 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
256254, 255oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
257256cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
258 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
259258oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
260259mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
261257, 260syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
262261cbvmptv 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
2636, 262eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
264 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
265264seqeq3d 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
266265eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
267266cbvrabv 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }
268267supeq1i 8899 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
26913, 268eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
270 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
2717adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
272221simp3d 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
273240, 272eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
274263, 269, 270, 271, 241, 273dvradcnv 24936 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
275253, 274eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
276197, 207, 212, 241, 275radcnvle 24935 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
277240, 276eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
27818, 223, 225, 238, 277xrltletrd 12542 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
279197, 201, 207, 212, 219, 220, 278, 41pserulm 24937 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
28021sselda 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
281 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑖) = (𝑦𝑖))
282281oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
283282mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
284 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))
285249mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) ∈ V
286283, 284, 285fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
287280, 286syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
288287adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
289288fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
290 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
291 fvoveq1 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
292290, 291oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
293 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦𝑖) = (𝑦𝑘))
294292, 293oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
295 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
296 ovex 7178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
297294, 295, 296fvmpt 6761 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
298297adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
299289, 298eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
300299sumeq2dv 15048 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
301300mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
302279, 301breqtrd 5083 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
303 nnuz 12269 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
304 1e0p1 12128 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
305304fveq2i 6666 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
306303, 305eqtri 2841 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
307 1zzd 12001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℤ)
308 0zd 11981 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ ℤ)
309 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
310309nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
311310adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
3127ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
313 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
314312, 309, 313syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
315311, 314mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
316280, 148sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
317315, 316mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
318287, 317fmpt3d 6872 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
319318ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
3201, 308, 319serf 13386 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
321320ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
322321an32s 648 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
323322fmpttd 6871 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
32430, 31elmap 8424 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
325323, 324sylibr 235 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
326325fmpttd 6871 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
327 elfznn 12924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
328327nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
329328neneqd 3018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
330329iffalsed 4474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
331330oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
332331sumeq2i 15044 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
333 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 1 ∈ ℤ)
334 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
335334ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
336271ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
337327nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
338336, 337, 142syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
339327adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
340339nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
341280adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
342 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
343327, 342syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
344 expcl 13435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
345341, 343, 344syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
346340, 345mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
347338, 346mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
348 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
349 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
350 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
351350oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
352349, 351oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
353348, 352oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
354333, 333, 335, 347, 353fsumshftm 15124 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
355332, 354syl5eq 2865 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
356 fz1ssfz0 12991 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
357356a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
358331adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
359358, 347eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
360 eldif 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
361 elfzuz2 12900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
362 elfzp12 12974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (ℤ‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
363361, 362syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
364363ibi 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
365364ord 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
366365con1d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
367366imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
368360, 367sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
369304oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
370369difeq2i 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
371368, 370eleq2s 2928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
372371adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
373372iftrued 4471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
374373oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · 0))
375 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
376375, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
377336, 376, 142syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
378377mul01d 10827 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · 0) = 0)
379374, 378eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
380 fzfid 13329 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
381357, 359, 379, 380fsumss 15070 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
382 1m1e0 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
383382oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
384383sumeq1i 15043 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
385 elfznn0 12988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
386385adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
387386, 297syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
388341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
389388, 286syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
390389fveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
391336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
392 peano2nn0 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
393386, 392syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
394391, 393ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
395393nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
396 expcl 13435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
397341, 385, 396syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
398394, 395, 397mul12d 10837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
399386nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
400 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
401 pncan 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
402399, 400, 401sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
403402oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦𝑘))
404403oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘)))
405404oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))))
406395, 394, 397mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
407398, 405, 4063eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
408387, 390, 4073eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
409 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
410409adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
411410adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
412411, 1eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ‘0))
413403, 397eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
414395, 413mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
415394, 414mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
416408, 412, 415fsumser 15075 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
417384, 416syl5eq 2865 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
418355, 381, 4173eqtr3d 2861 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
419418mpteq2dva 5152 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
420 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
421420mpteq2dv 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
422 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
42331mptex 6977 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
424421, 422, 423fvmpt 6761 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
425410, 424syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
426419, 425eqtr4d 2856 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
427426mpteq2dva 5152 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
4281, 306, 4, 307, 326, 427ulmshft 24905 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
429302, 428mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
430177, 429eqbrtrid 5092 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
431 1nn0 11901 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
432431a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
433 fzfid 13329 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
434164an32s 648 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
435433, 434fsumcl 15078 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
436435fmpttd 6871 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
43730, 31elmap 8424 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
438436, 437sylibr 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑m 𝐵))
439438fmpttd 6871 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑m 𝐵))
4401, 303, 432, 439ulmres 24903 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
441430, 440mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
442174, 441eqbrtrd 5079 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
4431, 3, 4, 34, 44, 120, 442ulmdv 24918 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  wss 3933  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  dom cdm 5548  cres 5550  cima 5551  ccom 5552   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  supcsup 8892  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cexp 13417  abscabs 14581  cli 14829  Σcsu 15030  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460  fldccnfld 20473  cnccncf 23411   D cdv 24388  𝑢culm 24891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-ulm 24892
This theorem is referenced by:  pserdv  24944
  Copyright terms: Public domain W3C validator