MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfn 17902
Description: Functionality and domain of the permutation sign function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfn.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnfn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfn.f 𝐹 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
psgnfn.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnfn 𝑁 Fn 𝐹
Distinct variable group:   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑝)   𝐹(𝑝)   𝐺(𝑝)   𝑁(𝑝)

Proof of Theorem psgnfn
Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iotaex 5856 . 2 (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝐷)(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))) ∈ V
2 psgnfn.g . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
3 psgnfn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 psgnfn.f . . 3 𝐹 = {𝑝𝐵 ∣ dom (𝑝 ∖ I ) ∈ Fin}
5 eqid 2620 . . 3 ran (pmTrsp‘𝐷) = ran (pmTrsp‘𝐷)
6 psgnfn.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
72, 3, 4, 5, 6psgnfval 17901 . 2 𝑁 = (𝑥𝐹 ↦ (℩𝑠𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝐷)(𝑥 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
81, 7fnmpti 6009 1 𝑁 Fn 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wrex 2910  {crab 2913  cdif 3564   I cid 5013  dom cdm 5104  ran crn 5105  cio 5837   Fn wfn 5871  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  1c1 9922  -cneg 10252  cexp 12843  #chash 13100  Word cword 13274  Basecbs 15838   Σg cgsu 16082  SymGrpcsymg 17778  pmTrspcpmtr 17842  pmSgncpsgn 17890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-slot 15842  df-base 15844  df-psgn 17892
This theorem is referenced by:  psgndmsubg  17903  psgneldm  17904  psgneldm2  17905  psgnval  17908  psgnghm  19907  psgnghm2  19908  zrhcofipsgn  19920  m1detdiag  20384  psgndmfi  29820
  Copyright terms: Public domain W3C validator