MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm2 19975
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgnghm2.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgnghm2.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnghm2.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2651 . . 3 (𝑆s dom 𝑁) = (𝑆s dom 𝑁)
4 psgnghm2.u . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
51, 2, 3, 4psgnghm 19974 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈))
6 eqid 2651 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
71, 6sygbasnfpfi 17978 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
87ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
9 rabid2 3148 . . . . . 6 ((Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
108, 9sylibr 224 . . . . 5 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
11 eqid 2651 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
121, 6, 11, 2psgnfn 17967 . . . . . 6 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
13 fndm 6028 . . . . . 6 (𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} → dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1510, 14syl6eqr 2703 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = dom 𝑁)
16 eqimss 3690 . . . 4 ((Base‘𝑆) = dom 𝑁 → (Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁)
17 fvex 6239 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) ∈ V
181, 17eqeltri 2726 . . . . 5 𝑆 ∈ V
19 fvex 6239 . . . . . . 7 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
202, 19eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
2120dmex 7141 . . . . 5 dom 𝑁 ∈ V
223, 6ressid2 15975 . . . . 5 (((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑁 ∈ V) → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2318, 21, 22mp3an23 1456 . . . 4 ((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2415, 16, 233syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2524oveq1d 6705 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈) = (𝑆 GrpHom 𝑈))
265, 25eleqtrd 2732 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {cpr 4212   I cid 5052  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975  -cneg 10305  Basecbs 15904  s cress 15905   GrpHom cghm 17704  SymGrpcsymg 17843  pmSgncpsgn 17955  mulGrpcmgp 18535  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-reverse 13337  df-s2 13639  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-oppg 17822  df-symg 17844  df-pmtr 17908  df-psgn 17957  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  psgninv  19976  psgnco  19977  zrhpsgnmhm  19978  zrhpsgninv  19979  psgnevpmb  19981  psgnodpm  19982  zrhpsgnevpm  19985  zrhpsgnodpm  19986  evpmodpmf1o  19990  mdetralt  20462  psgnid  29975
  Copyright terms: Public domain W3C validator