MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnghm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnghm2 19691
Description: The sign is a homomorphism from the finite symmetric group to the numeric signs. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnghm2.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgnghm2.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgnghm2.u 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
Assertion
Ref Expression
psgnghm2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem psgnghm2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psgnghm2.s . . 3 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgnghm2.n . . 3 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2609 . . 3 (𝑆s dom 𝑁) = (𝑆s dom 𝑁)
4 psgnghm2.u . . 3 𝑈 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
51, 2, 3, 4psgnghm 19690 . 2 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈))
6 eqid 2609 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
71, 6sygbasnfpfi 17701 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
87ralrimiva 2948 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
9 rabid2 3095 . . . . . 6 ((Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin)
108, 9sylibr 222 . . . . 5 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
11 eqid 2609 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
121, 6, 11, 2psgnfn 17690 . . . . . 6 𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
13 fndm 5890 . . . . . 6 (𝑁 Fn {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin} → dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin})
1412, 13ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝑁 = {𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∣ dom (𝑥 ∖ I ) ∈ Fin}
1510, 14syl6eqr 2661 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → (Base‘𝑆) = dom 𝑁)
16 eqimss 3619 . . . 4 ((Base‘𝑆) = dom 𝑁 → (Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁)
17 fvex 6098 . . . . . 6 (SymGrp‘𝐷) ∈ V
181, 17eqeltri 2683 . . . . 5 𝑆 ∈ V
19 fvex 6098 . . . . . . 7 (pmSgn‘𝐷) ∈ V
202, 19eqeltri 2683 . . . . . 6 𝑁 ∈ V
2120dmex 6968 . . . . 5 dom 𝑁 ∈ V
223, 6ressid2 15701 . . . . 5 (((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑁 ∈ V) → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2318, 21, 22mp3an23 1407 . . . 4 ((Base‘𝑆) ⊆ dom 𝑁 → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2415, 16, 233syl 18 . . 3 (𝐷 ∈ Fin → (𝑆s dom 𝑁) = 𝑆)
2524oveq1d 6542 . 2 (𝐷 ∈ Fin → ((𝑆s dom 𝑁) GrpHom 𝑈) = (𝑆 GrpHom 𝑈))
265, 25eleqtrd 2689 1 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  {cpr 4126   I cid 4938  dom cdm 5028   Fn wfn 5785  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  1c1 9793  -cneg 10118  Basecbs 15641  s cress 15642   GrpHom cghm 17426  SymGrpcsymg 17566  pmSgncpsgn 17678  mulGrpcmgp 18258  fldccnfld 19513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-xor 1456  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-ot 4133  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-word 13100  df-lsw 13101  df-concat 13102  df-s1 13103  df-substr 13104  df-splice 13105  df-reverse 13106  df-s2 13390  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-gim 17470  df-oppg 17545  df-symg 17567  df-pmtr 17631  df-psgn 17680  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-drng 18518  df-cnfld 19514
This theorem is referenced by:  psgninv  19692  psgnco  19693  zrhpsgnmhm  19694  zrhpsgninv  19695  psgnevpmb  19697  psgnodpm  19698  zrhpsgnevpm  19701  zrhpsgnodpm  19702  evpmodpmf1o  19706  mdetralt  20175  psgnid  28984
  Copyright terms: Public domain W3C validator