MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgninv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgninv 19976
Description: The sign of a permutation equals the sign of the inverse of the permutation. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgninv.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
psgninv.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
psgninv.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psgninv ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))

Proof of Theorem psgninv
StepHypRef Expression
1 psgninv.s . . . . 5 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
2 psgninv.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
3 eqid 2651 . . . . 5 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
41, 2, 3psgnghm2 19975 . . . 4 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
5 psgninv.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝑆)
6 eqid 2651 . . . . 5 (invg𝑆) = (invg𝑆)
7 eqid 2651 . . . . 5 (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
85, 6, 7ghminv 17714 . . . 4 ((𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
94, 8sylan 487 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
101, 5, 6symginv 17868 . . . . 5 (𝐹𝑃 → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg𝑆)‘𝐹) = 𝐹)
1211fveq2d 6233 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁‘((invg𝑆)‘𝐹)) = (𝑁𝐹))
13 eqid 2651 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
1413cnmsgnsubg 19971 . . . . 5 {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
153cnmsgnbas 19972 . . . . . . . 8 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
165, 15ghmf 17711 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1817ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
19 cnex 10055 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
20 difss 3770 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
2119, 20ssexi 4836 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) ∈ V
22 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
23 ax-1ne0 10043 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
24 eldifsn 4350 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
2522, 23, 24mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
26 neg1cn 11162 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
27 neg1ne0 11164 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
28 eldifsn 4350 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0))
2926, 27, 28mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 -1 ∈ (ℂ ∖ {0})
30 prssi 4385 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ -1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
3125, 29, 30mp2an 708 . . . . . . . 8 {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})
32 ressabs 15986 . . . . . . . 8 (((ℂ ∖ {0}) ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
3321, 31, 32mp2an 708 . . . . . . 7 (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
3433eqcomi 2660 . . . . . 6 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) ↾s {1, -1})
35 cnfldbas 19798 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
36 cnfld0 19818 . . . . . . . 8 0 = (0g‘ℂfld)
37 cndrng 19823 . . . . . . . 8 fld ∈ DivRing
3835, 36, 37drngui 18801 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
39 eqid 2651 . . . . . . 7 (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
4038, 13, 39invrfval 18719 . . . . . 6 (invr‘ℂfld) = (invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
4134, 40, 7subginv 17648 . . . . 5 (({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (𝑁𝐹) ∈ {1, -1}) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4214, 18, 41sylancr 696 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)))
4331, 18sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 eldifsn 4350 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
4543, 44sylib 208 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0))
46 cnfldinv 19825 . . . . 5 (((𝑁𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐹) ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4745, 46syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invr‘ℂfld)‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
4842, 47eqtr3d 2687 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((invg‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))‘(𝑁𝐹)) = (1 / (𝑁𝐹)))
499, 12, 483eqtr3d 2693 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (1 / (𝑁𝐹)))
50 fvex 6239 . . . . 5 (𝑁𝐹) ∈ V
5150elpr 4231 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
52 1div1e1 10755 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
53 oveq2 6698 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / 1))
54 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = 1 → (𝑁𝐹) = 1)
5552, 53, 543eqtr4a 2711 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = 1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
56 divneg2 10787 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
5722, 22, 23, 56mp3an 1464 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
5852negeqi 10312 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5957, 58eqtr3i 2675 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
60 oveq2 6698 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (1 / -1))
61 id 22 . . . . . 6 ((𝑁𝐹) = -1 → (𝑁𝐹) = -1)
6259, 60, 613eqtr4a 2711 . . . . 5 ((𝑁𝐹) = -1 → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6355, 62jaoi 393 . . . 4 (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6451, 63sylbi 207 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6518, 64syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (1 / (𝑁𝐹)) = (𝑁𝐹))
6649, 65eqtrd 2685 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝑁𝐹) = (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  ccnv 5142  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  -cneg 10305   / cdiv 10722  Basecbs 15904  s cress 15905  invgcminusg 17470  SubGrpcsubg 17635   GrpHom cghm 17704  SymGrpcsymg 17843  pmSgncpsgn 17955  mulGrpcmgp 18535  invrcinvr 18717  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-xor 1505  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-reverse 13337  df-s2 13639  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-oppg 17822  df-symg 17844  df-pmtr 17908  df-psgn 17957  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  zrhpsgninv  19979  evpmodpmf1o  19990  madjusmdetlem4  30024
  Copyright terms: Public domain W3C validator