Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnodpm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnodpm 19856
 Description: A permutation which is odd (i.e. not even) has sign -1. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
evpmss.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
evpmss.p 𝑃 = (Base‘𝑆)
psgnevpmb.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnodpm ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) = -1)

Proof of Theorem psgnodpm
StepHypRef Expression
1 eldif 3566 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) ↔ (𝐹𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
2 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → 𝐹𝑃)
32a1d 25 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → 𝐹𝑃))
43ancrd 576 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
5 evpmss.s . . . . . . . 8 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
6 evpmss.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝑆)
7 psgnevpmb.n . . . . . . . 8 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
85, 6, 7psgnevpmb 19855 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ Fin → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) ↔ (𝐹𝑃 ∧ (𝑁𝐹) = 1)))
104, 9sylibrd 249 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → ((𝑁𝐹) = 1 → 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷)))
1110con3d 148 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑃) → (¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷) → ¬ (𝑁𝐹) = 1))
1211impr 648 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑃 ∧ ¬ 𝐹 ∈ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁𝐹) = 1)
131, 12sylan2b 492 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ¬ (𝑁𝐹) = 1)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
155, 7, 14psgnghm2 19849 . . . . . 6 (𝐷 ∈ Fin → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
1714cnmsgnbas 19846 . . . . . 6 {1, -1} = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
186, 17ghmf 17588 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑆 GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
1916, 18syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝑁:𝑃⟶{1, -1})
20 eldifi 3712 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷)) → 𝐹𝑃)
2120adantl 482 . . . 4 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → 𝐹𝑃)
2219, 21ffvelrnd 6318 . . 3 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) ∈ {1, -1})
23 fvex 6160 . . . 4 (𝑁𝐹) ∈ V
2423elpr 4171 . . 3 ((𝑁𝐹) ∈ {1, -1} ↔ ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
2522, 24sylib 208 . 2 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → ((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1))
26 orel1 397 . 2 (¬ (𝑁𝐹) = 1 → (((𝑁𝐹) = 1 ∨ (𝑁𝐹) = -1) → (𝑁𝐹) = -1))
2713, 25, 26sylc 65 1 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ (𝑃 ∖ (pmEven‘𝐷))) → (𝑁𝐹) = -1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3553  {cpr 4152  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  Fincfn 7902  1c1 9884  -cneg 10214  Basecbs 15784   ↾s cress 15785   GrpHom cghm 17581  SymGrpcsymg 17721  pmSgncpsgn 17833  pmEvencevpm 17834  mulGrpcmgp 18413  ℂfldccnfld 19668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-ot 4159  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-xnn0 11311  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-word 13241  df-lsw 13242  df-concat 13243  df-s1 13244  df-substr 13245  df-splice 13246  df-reverse 13247  df-s2 13533  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-gim 17625  df-oppg 17700  df-symg 17722  df-pmtr 17786  df-psgn 17835  df-evpm 17836  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-dvr 18607  df-drng 18673  df-cnfld 19669 This theorem is referenced by:  zrhpsgnodpm  19860  evpmodpmf1o  19864
 Copyright terms: Public domain W3C validator