MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnprfval 17857
Description: The permutation sign function for a pair. (Contributed by AV, 10-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnprfval (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑠,𝑤   𝐺,𝑠,𝑤   𝑁,𝑠,𝑤   𝑇,𝑠,𝑤   𝑋,𝑠,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnprfval
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
2 elpri 4173 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
3 prfi 8180 . . . . . . . . 9 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin
4 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ Fin))
53, 4mpbiri 248 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
6 prfi 8180 . . . . . . . . 9 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin
7 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑋 ∈ Fin ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ Fin))
86, 7mpbiri 248 . . . . . . . 8 (𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑋 ∈ Fin)
95, 8jaoi 394 . . . . . . 7 ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → 𝑋 ∈ Fin)
10 diffi 8137 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ Fin → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑋 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑋 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
12 dmfi 8189 . . . . . 6 ((𝑋 ∖ I ) ∈ Fin → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
132, 11, 123syl 18 . . . . 5 (𝑋 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
14 1ex 9980 . . . . . 6 1 ∈ V
15 2nn 11130 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
16 psgnprfval.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
17 psgnprfval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
18 psgnprfval.0 . . . . . . 7 𝐷 = {1, 2}
1916, 17, 18symg2bas 17734 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
2014, 15, 19mp2an 707 . . . . 5 𝐵 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
2113, 20eleq2s 2722 . . . 4 (𝑋𝐵 → dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin)
22 psgnprfval.n . . . . 5 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
2316, 22, 17psgneldm 17839 . . . 4 (𝑋 ∈ dom 𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ dom (𝑋 ∖ I ) ∈ Fin))
241, 21, 23sylanbrc 697 . . 3 (𝑋𝐵𝑋 ∈ dom 𝑁)
25 psgnprfval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
2616, 25, 22psgnval 17843 . . 3 (𝑋 ∈ dom 𝑁 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
2724, 26syl 17 . 2 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
281, 27syl 17 1 (𝑋𝐵 → (𝑁𝑋) = (℩𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑋 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(#‘𝑤)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913  Vcvv 3191  cdif 3557  {cpr 4155  cop 4159   I cid 4989  dom cdm 5079  ran crn 5080  cio 5811  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  1c1 9882  -cneg 10212  cn 10965  2c2 11015  cexp 12797  #chash 13054  Word cword 13225  Basecbs 15776   Σg cgsu 16017  SymGrpcsymg 17713  pmTrspcpmtr 17777  pmSgncpsgn 17825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-word 13233  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-plusg 15870  df-tset 15876  df-symg 17714  df-psgn 17827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator