Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnprfval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnprfval1 17874
 Description: The permutation sign of the identity for a pair. (Contributed by AV, 11-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnprfval.0 𝐷 = {1, 2}
psgnprfval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnprfval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnprfval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnprfval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgnprfval1 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1

Proof of Theorem psgnprfval1
StepHypRef Expression
1 psgnprfval.0 . . . . . . 7 𝐷 = {1, 2}
2 prex 4875 . . . . . . 7 {1, 2} ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐷 ∈ V
4 psgnprfval.g . . . . . . 7 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
54symgid 17753 . . . . . 6 (𝐷 ∈ V → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺)
76gsum0 17210 . . . 4 (𝐺 Σg ∅) = ( I ↾ 𝐷)
8 reseq2 5356 . . . . . 6 (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = ( I ↾ {1, 2}))
9 1ex 9987 . . . . . . 7 1 ∈ V
10 2nn 11137 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
11 residpr 6369 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
129, 10, 11mp2an 707 . . . . . 6 ( I ↾ {1, 2}) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
138, 12syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐷 = {1, 2} → ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩})
141, 13ax-mp 5 . . . 4 ( I ↾ 𝐷) = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}
157, 14eqtr2i 2644 . . 3 {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} = (𝐺 Σg ∅)
1615fveq2i 6156 . 2 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = (𝑁‘(𝐺 Σg ∅))
17 wrd0 13277 . . 3 ∅ ∈ Word 𝑇
18 psgnprfval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
19 psgnprfval.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
204, 18, 19psgnvalii 17861 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ ∅ ∈ Word 𝑇) → (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(#‘∅)))
213, 17, 20mp2an 707 . 2 (𝑁‘(𝐺 Σg ∅)) = (-1↑(#‘∅))
22 hash0 13106 . . . 4 (#‘∅) = 0
2322oveq2i 6621 . . 3 (-1↑(#‘∅)) = (-1↑0)
24 neg1cn 11076 . . . 4 -1 ∈ ℂ
25 exp0 12812 . . . 4 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
2624, 25ax-mp 5 . . 3 (-1↑0) = 1
2723, 26eqtri 2643 . 2 (-1↑(#‘∅)) = 1
2816, 21, 273eqtri 2647 1 (𝑁‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189  ∅c0 3896  {cpr 4155  ⟨cop 4159   I cid 4989  ran crn 5080   ↾ cres 5081  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9886  0cc0 9888  1c1 9889  -cneg 10219  ℕcn 10972  2c2 11022  ↑cexp 12808  #chash 13065  Word cword 13238  Basecbs 15792  0gc0g 16032   Σg cgsu 16033  SymGrpcsymg 17729  pmTrspcpmtr 17793  pmSgncpsgn 17841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-word 13246  df-lsw 13247  df-concat 13248  df-s1 13249  df-substr 13250  df-splice 13251  df-reverse 13252  df-s2 13538  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-tset 15892  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-oppg 17708  df-symg 17730  df-pmtr 17794  df-psgn 17843 This theorem is referenced by:  m2detleiblem1  20362  m2detleiblem5  20363
 Copyright terms: Public domain W3C validator