MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnran 17856
Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnran ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 psgnran.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
31, 2sygbasnfpfi 17853 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
43ex 450 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
54pm4.71d 665 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6 psgnran.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
71, 6, 2psgneldm 17844 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
85, 7syl6bbr 278 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃𝑄 ∈ dom 𝑆))
9 eqid 2621 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
101, 9, 6psgnvali 17849 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤))))
11 lencl 13263 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (#‘𝑤) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11424 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (#‘𝑤) ∈ ℤ)
13 m1expcl2 12822 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14 prcom 4237 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
1513, 14syl6eleq 2708 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1716adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18 eleq1a 2693 . . . . . . 7 ((-1↑(#‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2019adantld 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2120rexlimdva 3024 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(#‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2210, 21syl5 34 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
238, 22sylbid 230 . 2 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2423imp 445 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  cdif 3552  {cpr 4150   I cid 4984  dom cdm 5074  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881  -cneg 10211  cz 11321  cexp 12800  #chash 13057  Word cword 13230  Basecbs 15781   Σg cgsu 16022  SymGrpcsymg 17718  pmTrspcpmtr 17782  pmSgncpsgn 17830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-oppg 17697  df-symg 17719  df-pmtr 17783  df-psgn 17832
This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  19859  mdetpmtr1  29668  mdetpmtr12  29670
  Copyright terms: Public domain W3C validator