MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnran Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnran 18133
Description: The range of the permutation sign function for finite permutations. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnran.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnran.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnran ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})

Proof of Theorem psgnran
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2 psgnran.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
31, 2sygbasnfpfi 18130 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
43ex 449 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
54pm4.71d 669 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)))
6 psgnran.s . . . . 5 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
71, 6, 2psgneldm 18121 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝑄𝑃 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
85, 7syl6bbr 278 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃𝑄 ∈ dom 𝑆))
9 eqid 2758 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
101, 9, 6psgnvali 18126 . . . 4 (𝑄 ∈ dom 𝑆 → ∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))))
11 lencl 13508 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11670 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (♯‘𝑤) ∈ ℤ)
13 m1expcl2 13074 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {-1, 1})
14 prcom 4409 . . . . . . . . . 10 {-1, 1} = {1, -1}
1513, 14syl6eleq 2847 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑤) ∈ ℤ → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
1716adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → (-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1})
18 eleq1a 2832 . . . . . . 7 ((-1↑(♯‘𝑤)) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤)) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2019adantld 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)) → ((𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2120rexlimdva 3167 . . . 4 (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word ran (pmTrsp‘𝑁)(𝑄 = ((SymGrp‘𝑁) Σg 𝑤) ∧ (𝑆𝑄) = (-1↑(♯‘𝑤))) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2210, 21syl5 34 . . 3 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
238, 22sylbid 230 . 2 (𝑁 ∈ Fin → (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1}))
2423imp 444 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wrex 3049  cdif 3710  {cpr 4321   I cid 5171  dom cdm 5264  ran crn 5265  cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  1c1 10127  -cneg 10457  cz 11567  cexp 13052  chash 13309  Word cword 13475  Basecbs 16057   Σg cgsu 16301  SymGrpcsymg 17995  pmTrspcpmtr 18059  pmSgncpsgn 18107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1612  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-ot 4328  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-tpos 7519  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-word 13483  df-lsw 13484  df-concat 13485  df-s1 13486  df-substr 13487  df-splice 13488  df-reverse 13489  df-s2 13791  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-tset 16160  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-subg 17790  df-ghm 17857  df-gim 17900  df-oppg 17974  df-symg 17996  df-pmtr 18060  df-psgn 18109
This theorem is referenced by:  zrhpsgnelbas  20140  mdetpmtr1  30196  mdetpmtr12  30198
  Copyright terms: Public domain W3C validator