Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnuni 17859
 Description: If the same permutation can be written in more than one way as a product of transpositions, the parity of those products must agree; otherwise the product of one with the inverse of the other would be an odd representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnuni.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnuni.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnuni.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnuni.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
psgnuni.e (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
Assertion
Ref Expression
psgnuni (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑋)))

Proof of Theorem psgnuni
StepHypRef Expression
1 psgnuni.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2 lencl 13279 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11440 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
5 m1expcl 12839 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ ℤ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ ℤ)
76zcnd 11443 . 2 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) ∈ ℂ)
8 psgnuni.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝑇)
9 lencl 13279 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11440 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
12 m1expcl 12839 . . . 4 ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑋)) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑋)) ∈ ℤ)
1413zcnd 11443 . 2 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑋)) ∈ ℂ)
15 neg1cn 11084 . . . 4 -1 ∈ ℂ
16 neg1ne0 11086 . . . 4 -1 ≠ 0
17 expne0i 12848 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑(#‘𝑋)) ≠ 0)
1815, 16, 17mp3an12 1411 . . 3 ((#‘𝑋) ∈ ℤ → (-1↑(#‘𝑋)) ≠ 0)
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑋)) ≠ 0)
20 m1expaddsub 17858 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
214, 11, 20syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
22 expsub 12864 . . . . . 6 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ)) → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
2315, 16, 22mpanl12 717 . . . . 5 (((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
244, 11, 23syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) − (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
2521, 24eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))))
26 revcl 13463 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
278, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇)
28 ccatlen 13315 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘(reverse‘𝑋))))
291, 27, 28syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘(reverse‘𝑋))))
30 revlen 13464 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Word 𝑇 → (#‘(reverse‘𝑋)) = (#‘𝑋))
318, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(reverse‘𝑋)) = (#‘𝑋))
3231oveq2d 6631 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝑊) + (#‘(reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
3329, 32eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((#‘𝑊) + (#‘𝑋)))
3433oveq2d 6631 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))))
35 psgnuni.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
36 psgnuni.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
37 psgnuni.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
38 ccatcl 13314 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word 𝑇) → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
391, 27, 38syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑊 ++ (reverse‘𝑋)) ∈ Word 𝑇)
40 psgnuni.e . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑋))
4140fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)))
42 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4336, 35, 42symgtrinv 17832 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑉𝑋 ∈ Word 𝑇) → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4437, 8, 43syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑋)) = (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)))
4541, 44eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg (reverse‘𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊)))
4645oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))))
4735symggrp 17760 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
4837, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
49 grpmnd 17369 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
51 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5236, 35, 51symgtrf 17829 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
53 sswrd 13268 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺)
5554, 1sseldi 3586 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
5651gsumwcl 17317 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
5750, 55, 56syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺))
58 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
59 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6051, 58, 59, 42grprinv 17409 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝑊) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6148, 57, 60syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝑊))) = (0g𝐺))
6246, 61eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))) = (0g𝐺))
6354, 27sseldi 3586 . . . . . . 7 (𝜑 → (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺))
6451, 58gsumccat 17318 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ (reverse‘𝑋) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6550, 55, 63, 64syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ((𝐺 Σg 𝑊)(+g𝐺)(𝐺 Σg (reverse‘𝑋))))
6635symgid 17761 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6737, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ( I ↾ 𝐷) = (0g𝐺))
6862, 65, 673eqtr4d 2665 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 ++ (reverse‘𝑋))) = ( I ↾ 𝐷))
6935, 36, 37, 39, 68psgnunilem4 17857 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(#‘(𝑊 ++ (reverse‘𝑋)))) = 1)
7034, 69eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → (-1↑((#‘𝑊) + (#‘𝑋))) = 1)
7125, 70eqtr3d 2657 . 2 (𝜑 → ((-1↑(#‘𝑊)) / (-1↑(#‘𝑋))) = 1)
727, 14, 19, 71diveq1d 10769 1 (𝜑 → (-1↑(#‘𝑊)) = (-1↑(#‘𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ⊆ wss 3560   I cid 4994  ran crn 5085   ↾ cres 5086  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   − cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ↑cexp 12816  #chash 13073  Word cword 13246   ++ cconcat 13248  reversecreverse 13252  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  Mndcmnd 17234  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  SymGrpcsymg 17737  pmTrspcpmtr 17801 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-splice 13259  df-reverse 13260  df-s2 13546  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-tset 15900  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-oppg 17716  df-symg 17738  df-pmtr 17802 This theorem is referenced by:  psgneu  17866  psgndiflemA  19887
 Copyright terms: Public domain W3C validator