MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnunilem5 17835
Description: Lemma for psgnuni 17840. It is impossible to shift a transposition off the end because if the active transposition is at the right end, it is the only transposition moving 𝐴 in contradiction to this being a representation of the identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnunilem2.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
psgnunilem5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5
Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3895 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 psgnunilem2.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
32difeq1d 3705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
43dmeqd 5286 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5 resss 5381 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6 ssdif0 3916 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
75, 6mpbi 220 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
87dmeqi 5285 . . . . . . 7 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9 dm0 5299 . . . . . . 7 dom ∅ = ∅
108, 9eqtri 2643 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
114, 10syl6eq 2671 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
1211eleq2d 2684 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
131, 12mtbiri 317 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14 psgnunilem2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
15 psgnunilem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1615symggrp 17741 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
17 grpmnd 17350 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2119, 15, 20symgtrf 17810 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22 sswrd 13252 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24 psgnunilem2.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2523, 24sseldd 3584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26 swrdcl 13357 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2820gsumwcl 17298 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
2918, 27, 28syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
3015, 20symgbasf1o 17724 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
33 wrdf 13249 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑇)
35 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑊) = 𝐿)
3736oveq2d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^𝐿))
3835, 37eleqtrrd 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
3934, 38ffvelrnd 6316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑇)
4021, 39sseldi 3581 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
4115, 20symgbasf1o 17724 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4342adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4415, 20symgsssg 17808 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45 subgsubm 17537 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4614, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
48 fzossfz 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
4948, 35sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝐿))
50 elfzuz3 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5236, 51eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼))
53 fzoss2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
5554sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
5634ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ 𝑇)
5721, 56sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
5855, 57syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
59 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
60 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑠 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑠))
6160difeq1d 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊𝑘) ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6261dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6362eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6463notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6564cbvralv 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6659, 65sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6766r19.21bi 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
68 difeq1 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6968dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑊𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7069sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
71 disj2 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
72 disjsn 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7371, 72bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7470, 73syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7574elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7658, 67, 75sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
77 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠))
7876, 77fmptd 6340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7936oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(#‘𝑊)) = (0...𝐿))
8049, 79eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0...(#‘𝑊)))
81 swrd0val 13359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐼 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8224, 80, 81syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8334feqmptd 6206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 = (𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)))
8483reseq1d 5355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐼)) = ((𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)))
85 resmpt 5408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0..^𝐼) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8652, 53, 853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8782, 84, 863eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8887feq1d 5987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}))
8978, 88mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9089adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
91 iswrdi 13248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
93 gsumwsubmcl 17296 . . . . . . . . . 10 (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9447, 92, 93syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
95 difeq1 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9695dmeqd 5286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9796sseq1d 3611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9897elrab 3346 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9998simprbi 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
100 disj2 3996 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
101 disjsn 4216 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
102100, 101bitr3i 266 . . . . . . . . . 10 (dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10399, 102sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10494, 103syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
105 psgnunilem2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
106105adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
107104, 106jca 554 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
108107olcd 408 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
109 excxor 1466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
110108, 109sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
111 f1omvdco3 17790 . . . . 5 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11232, 43, 110, 111syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11324adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
114 elfzo0 12449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
115114simp2bi 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
11635, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
11736, 116eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
118 wrdfin 13262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Fin)
119 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
12024, 118, 1193syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
121117, 120mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
122121adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
123 swrdccatwrd 13406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
124123eqcomd 2627 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩))
125113, 122, 124syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩))
12636oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
127126adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((#‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
128116nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
129 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
130 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
13135, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
132131zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
133128, 129, 132subadd2d 10355 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
134133biimpar 502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
135127, 134eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼)
136 opeq2 4371 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) − 1) = 𝐼 → ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩ = ⟨0, 𝐼⟩)
137136oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
138137adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
139 lsw 13290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
14024, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
141 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝐼))
142140, 141sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊𝐼))
143142s1eqd 13320 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
144138, 143oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((#‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
145135, 144syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 substr ⟨0, ((#‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
146125, 145eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
147146oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
14840s1cld 13322 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
149 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
15020, 149gsumccat 17299 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15118, 27, 148, 150syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
152151adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15320gsumws1 17297 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
15440, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
155154oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)))
15615, 20, 149symgov 17731 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
15729, 40, 156syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
158155, 157eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
159158adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
160147, 152, 1593eqtrd 2659 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
161160difeq1d 3705 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
162161dmeqd 5286 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
163112, 162eleqtrrd 2701 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
16413, 163mtand 690 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
165 fzostep1 12524 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
16635, 165syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
167166ord 392 . 2 (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
168164, 167mt3d 140 1 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wxo 1461   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148  cop 4154   class class class wbr 4613  cmpt 4673   I cid 4984  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233   substr csubstr 13234  Basecbs 15781  +gcplusg 15862   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  SubMndcsubmnd 17255  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  SymGrpcsymg 17718  pmTrspcpmtr 17782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-symg 17719  df-pmtr 17783
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  17836
  Copyright terms: Public domain W3C validator