Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasure Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasure 41108
Description: Point supported measure, Remark 112B (d) of [Fremlin1] p. 15. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasure.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasure.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasure.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
psmeasure (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem psmeasure
Dummy variables 𝑧 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
2 psmeasure.h . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
32adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
41elpwid 4278 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → 𝑥𝑋)
5 fssres 6183 . . . . . . . 8 ((𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
63, 4, 5syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(0[,]+∞))
71, 6sge0cl 41018 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝑋) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) ∈ (0[,]+∞))
8 psmeasure.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
97, 8fmptd 6500 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
108, 7dmmptd 6137 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑀 = 𝒫 𝑋)
1110feq2d 6144 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ↔ 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞)))
129, 11mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞))
13 psmeasure.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
14 pwsal 40955 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ SAlg)
1610, 15eqeltrd 2803 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑀 ∈ SAlg)
1712, 16jca 555 . . 3 (𝜑 → (𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg))
188a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥))))
19 reseq2 5498 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝐻𝑥) = (𝐻 ↾ ∅))
2019fveq2d 6308 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
2120adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = ∅) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
22 0elpw 4939 . . . . . 6 ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑋)
24 fvexd 6316 . . . . 5 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) ∈ V)
2518, 21, 23, 24fvmptd 6402 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘∅) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)))
26 res0 5507 . . . . . . 7 (𝐻 ↾ ∅) = ∅
2726fveq2i 6307 . . . . . 6 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = (Σ^‘∅)
28 sge00 41013 . . . . . 6 ^‘∅) = 0
2927, 28eqtri 2746 . . . . 5 ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∅)) = 0)
3125, 30eqtrd 2758 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
32 simpl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝜑)
33 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀)
3410pweqd 4271 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝒫 dom 𝑀 = 𝒫 𝒫 𝑋)
3633, 35eleqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
37 elpwi 4276 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
3836, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
3913ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑋𝑉)
402ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
419ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
42 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋)
43 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑧𝑤 = 𝑧)
4443cbvdisjv 4739 . . . . . . . . . 10 (Disj 𝑤𝑦 𝑤Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4544biimpi 206 . . . . . . . . 9 (Disj 𝑤𝑦 𝑤Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4645adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → Disj 𝑧𝑦 𝑧)
4739, 40, 8, 41, 42, 46psmeasurelem 41107 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))
4847adantrl 754 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) ∧ (𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤)) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))
4948ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5032, 38, 49syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀) → ((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5150ralrimiva 3068 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦))))
5217, 31, 51jca31 558 . 2 (𝜑 → (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))))
53 ismea 41088 . 2 (𝑀 ∈ Meas ↔ (((𝑀:dom 𝑀⟶(0[,]+∞) ∧ dom 𝑀 ∈ SAlg) ∧ (𝑀‘∅) = 0) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 dom 𝑀((𝑦 ≼ ω ∧ Disj 𝑤𝑦 𝑤) → (𝑀 𝑦) = (Σ^‘(𝑀𝑦)))))
5452, 53sylibr 224 1 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  wss 3680  c0 4023  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  Disj wdisj 4728   class class class wbr 4760  cmpt 4837  dom cdm 5218  cres 5220  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  ωcom 7182  cdom 8070  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  [,]cicc 12292  SAlgcsalg 40948  Σ^csumge0 40999  Meascmea 41086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-ac2 9398  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-ac 9052  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xadd 12061  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-salg 40949  df-sumge0 41000  df-mea 41087
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator