Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasurelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasurelem 41107
Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasurelem.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasurelem.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
psmeasurelem.mf (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
Assertion
Ref Expression
psmeasurelem (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem
StepHypRef Expression
1 psmeasurelem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 psmeasurelem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
3 pwexg 4955 . . . . 5 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5 ssexg 4912 . . . 4 ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
61, 4, 5syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
7 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
8 uniiun 4681 . . 3 𝑌 = 𝑦𝑌 𝑦
9 psmeasurelem.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
10 elpwg 4274 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
116, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
121, 11mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
13 pwpwuni 39641 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
1512, 14mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
1615elpwid 4278 . . . 4 (𝜑 𝑌𝑋)
179, 16fssresd 6184 . . 3 (𝜑 → (𝐻 𝑌): 𝑌⟶(0[,]+∞))
18 psmeasurelem.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
196, 7, 8, 17, 18sge0iun 41056 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
20 psmeasurelem.m . . . 4 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
2120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥))))
22 reseq2 5498 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (𝐻𝑥) = (𝐻 𝑌))
2322fveq2d 6308 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
2423adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
25 fvexd 6316 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) ∈ V)
2621, 24, 15, 25fvmptd 6402 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
27 psmeasurelem.mf . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
2827, 1fssresd 6184 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
2928feqmptd 6363 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)))
30 fvres 6320 . . . . . . 7 (𝑦𝑌 → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
317, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
3220a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥))))
33 reseq2 5498 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
3433fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
3534adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑌) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
361sselda 3709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
37 fvexd 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) ∈ V)
3832, 35, 36, 37fvmptd 6402 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑀𝑦) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
39 elssuni 4575 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌𝑦 𝑌)
40 resabs1 5537 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
4241eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝑦𝑌 → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
4342adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
4443fveq2d 6308 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4531, 38, 443eqtrd 2762 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4645mpteq2dva 4852 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4729, 46eqtrd 2758 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4847fveq2d 6308 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
4919, 26, 483eqtr4d 2768 1 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680  𝒫 cpw 4266   cuni 4544  Disj wdisj 4728  cmpt 4837  cres 5220  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  [,]cicc 12292  Σ^csumge0 40999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-ac2 9398  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-disj 4729  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-ac 9052  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-xadd 12061  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-sumge0 41000
This theorem is referenced by:  psmeasure  41108
  Copyright terms: Public domain W3C validator