Theorem psmeasurelem 39981

Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
psmeasurelem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
psmeasurelem.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
psmeasurelem.mf	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
psmeasurelem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmeasurelem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		psmeasurelem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		pwexg 4815	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
5		ssexg 4769	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
6	1, 4, 5	syl2anc 692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
7		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝑌)
8		uniiun 4544	. . 3 ⊢ ∪ 𝑌 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦
9		psmeasurelem.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
10		elpwg 4143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
12	1, 11	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
13		pwpwuni 38696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
14	6, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
15	12, 14	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
16	15	elpwid 4146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑌 ⊆ 𝑋)
17	9, 16	fssresd 6030	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ ∪ 𝑌):∪ 𝑌⟶(0[,]+∞))
18		psmeasurelem.dj	. . 3 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑦 ∈ 𝑌 𝑦)
19	6, 7, 8, 17, 18	sge0iun 39930	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
20		psmeasurelem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)))
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥))))
22		reseq2 5355	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ ∪ 𝑌))
23	22	fveq2d 6154	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∪ 𝑌 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
24	23	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
25		fvex 6160	. . . 4 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) ∈ V
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)) ∈ V)
27	21, 24, 15, 26	fvmptd 6246	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 ↾ ∪ 𝑌)))
28		psmeasurelem.mf	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
29	28, 1	fssresd 6030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
30	29	feqmptd 6207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)))
31		fvres 6165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
32	7, 31	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (𝑀‘𝑦))
33	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥))))
34		reseq2 5355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻 ↾ 𝑥) = (𝐻 ↾ 𝑦))
35	34	fveq2d 6154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
36	35	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
37	1	sselda 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
38		fvex 6160	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) ∈ V
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) ∈ V)
40	33, 36, 37, 39	fvmptd 6246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝑀‘𝑦) = (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)))
41		elssuni 4438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑌)
42		resabs1 5390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ⊆ ∪ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻 ↾ 𝑦))
44	43	eqcomd 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑌 → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
45	44	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (𝐻 ↾ 𝑦) = ((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))
46	45	fveq2d 6154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → (Σ^‘(𝐻 ↾ 𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
47	32, 40, 46	3eqtrd 2664	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑌) → ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))
48	47	mpteq2dva 4709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑀 ↾ 𝑌)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
49	30, 48	eqtrd 2660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑌) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦))))
50	49	fveq2d 6154	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 ↾ ∪ 𝑌) ↾ 𝑦)))))
51	19, 27, 50	3eqtr4d 2670	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∪ 𝑌) = (Σ^‘(𝑀 ↾ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ⊆ wss 3560  𝒫 cpw 4135  ∪ cuni 4407  Disj wdisj 4588   ↦ cmpt 4678   ↾ cres 5081  ⟶wf 5846  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  +∞cpnf 10016  [,]cicc 12117  Σ^{^}csumge0 39873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-ac2 9230  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-ac 8884  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-sumge0 39874

This theorem is referenced by:  psmeasure  39982