Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  psmeasurelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psmeasurelem 42629
Description: 𝑀 applied to a disjoint union of subsets of its domain is the sum of 𝑀 applied to such subset. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
psmeasurelem.x (𝜑𝑋𝑉)
psmeasurelem.h (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.m 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
psmeasurelem.mf (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
psmeasurelem.y (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
psmeasurelem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
Assertion
Ref Expression
psmeasurelem (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem psmeasurelem
StepHypRef Expression
1 psmeasurelem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 psmeasurelem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
32pwexd 5271 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
4 ssexg 5218 . . . 4 ((𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝒫 𝑋 ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
51, 3, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ V)
6 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
7 uniiun 4973 . . 3 𝑌 = 𝑦𝑌 𝑦
8 psmeasurelem.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝑋⟶(0[,]+∞))
9 elpwg 4541 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
111, 10mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
12 pwpwuni 41196 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋))
1411, 13mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
1514elpwid 4549 . . . 4 (𝜑 𝑌𝑋)
168, 15fssresd 6538 . . 3 (𝜑 → (𝐻 𝑌): 𝑌⟶(0[,]+∞))
17 psmeasurelem.dj . . 3 (𝜑Disj 𝑦𝑌 𝑦)
185, 6, 7, 16, 17sge0iun 42578 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
19 psmeasurelem.m . . 3 𝑀 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ↦ (Σ^‘(𝐻𝑥)))
20 reseq2 5841 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐻𝑥) = (𝐻 𝑌))
2120fveq2d 6667 . . 3 (𝑥 = 𝑌 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
22 fvexd 6678 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐻 𝑌)) ∈ V)
2319, 21, 14, 22fvmptd3 6783 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝐻 𝑌)))
24 psmeasurelem.mf . . . . . 6 (𝜑𝑀:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
2524, 1fssresd 6538 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑌):𝑌⟶(0[,]+∞))
2625feqmptd 6726 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)))
27 fvres 6682 . . . . . . 7 (𝑦𝑌 → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
286, 27syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (𝑀𝑦))
29 reseq2 5841 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
3029fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (Σ^‘(𝐻𝑥)) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
311sselda 3964 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
32 fvexd 6678 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) ∈ V)
3319, 30, 31, 32fvmptd3 6783 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑀𝑦) = (Σ^‘(𝐻𝑦)))
34 elssuni 4859 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌𝑦 𝑌)
35 resabs1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑌 → ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦) = (𝐻𝑦))
3736eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (𝑦𝑌 → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
3837adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐻𝑦) = ((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))
3938fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (Σ^‘(𝐻𝑦)) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4028, 33, 393eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → ((𝑀𝑌)‘𝑦) = (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))
4140mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ ((𝑀𝑌)‘𝑦)) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4226, 41eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) = (𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦))))
4342fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑀𝑌)) = (Σ^‘(𝑦𝑌 ↦ (Σ^‘((𝐻 𝑌) ↾ 𝑦)))))
4418, 23, 433eqtr4d 2863 1 (𝜑 → (𝑀 𝑌) = (Σ^‘(𝑀𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  Disj wdisj 5022  cmpt 5137  cres 5550  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-sumge0 42522
This theorem is referenced by:  psmeasure  42630
  Copyright terms: Public domain W3C validator