MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr0 19169
Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psr0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0.o 𝑂 = (0g𝑅)
psr0.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr0 (𝜑0 = (𝐷 × {𝑂}))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrgrp.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4 psr0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psr0.o . . 3 𝑂 = (0g𝑅)
6 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7 eqid 2610 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
81, 2, 3, 4, 5, 6psr0cl 19164 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psr0lid 19165 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × {𝑂})(+g𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}))
101, 2, 3psrgrp 19168 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
11 psr0.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
126, 7, 11grpid 17229 . . 3 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐷 × {𝑂}) ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝐷 × {𝑂})(+g𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
1310, 8, 12syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (((𝐷 × {𝑂})(+g𝑆)(𝐷 × {𝑂})) = (𝐷 × {𝑂}) ↔ 0 = (𝐷 × {𝑂})))
149, 13mpbid 221 1 (𝜑0 = (𝐷 × {𝑂}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  {csn 4125   × cxp 5026  ccnv 5027  cima 5031  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  Fincfn 7819  cn 10870  0cn0 11142  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  0gc0g 15872  Grpcgrp 17194   mPwSer cmps 19121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-tset 15736  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-psr 19126
This theorem is referenced by:  psrneg  19170  mpl0  19211
  Copyright terms: Public domain W3C validator