MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr0cl 19157
Description: The zero element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o 0 = (0g𝑅)
psr0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr0cl (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0cl
StepHypRef Expression
1 psrgrp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
2 eqid 2605 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr0cl.o . . . . 5 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 17215 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝑅))
5 fconst6g 5988 . . . 4 ( 0 ∈ (Base‘𝑅) → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
61, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
7 fvex 6094 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
8 psr0cl.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 ovex 6551 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
108, 9rabex2 4733 . . . 4 𝐷 ∈ V
117, 10elmap 7745 . . 3 ((𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷) ↔ (𝐷 × { 0 }):𝐷⟶(Base‘𝑅))
126, 11sylibr 222 . 2 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
13 psrgrp.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
14 psr0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
15 psrgrp.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
1613, 2, 8, 14, 15psrbas 19141 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐷))
1712, 16eleqtrrd 2686 1 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2895  {csn 4120   × cxp 5022  ccnv 5023  cima 5027  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814  cn 10863  0cn0 11135  Basecbs 15637  0gc0g 15865  Grpcgrp 17187   mPwSer cmps 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-tset 15729  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-psr 19119
This theorem is referenced by:  psr0lid  19158  psrgrp  19161  psr0  19162  mplsubglem  19197
  Copyright terms: Public domain W3C validator