MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr0lid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr0lid 19157
Description: The zero element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrgrp.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgrp.i (𝜑𝐼𝑉)
psrgrp.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psr0cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr0cl.o 0 = (0g𝑅)
psr0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psr0lid.p + = (+g𝑆)
psr0lid.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psr0lid (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   + (𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem psr0lid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrgrp.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psr0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2604 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psr0lid.p . . 3 + = (+g𝑆)
5 psrgrp.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
6 psrgrp.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 psr0cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
8 psr0cl.o . . . 4 0 = (0g𝑅)
91, 5, 6, 7, 8, 2psr0cl 19156 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐵)
10 psr0lid.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
111, 2, 3, 4, 9, 10psradd 19144 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑋))
12 ovex 6550 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
137, 12rabex2 4732 . . . 4 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 eqid 2604 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
161, 15, 7, 2, 10psrelbas 19141 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17 fvex 6093 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
188, 17eqeltri 2678 . . . 4 0 ∈ V
1918a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
2015, 3, 8grplid 17216 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
216, 20sylan 486 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
2214, 16, 19, 21caofid0l 6795 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) ∘𝑓 (+g𝑅)𝑋) = 𝑋)
2311, 22eqtrd 2638 1 (𝜑 → ((𝐷 × { 0 }) + 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2894  Vcvv 3167  {csn 4119   × cxp 5021  ccnv 5022  cima 5026  cfv 5785  (class class class)co 6522  𝑓 cof 6765  𝑚 cmap 7716  Fincfn 7813  cn 10862  0cn0 11134  Basecbs 15636  +gcplusg 15709  0gc0g 15864  Grpcgrp 17186   mPwSer cmps 19113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-tset 15728  df-0g 15866  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-grp 17189  df-psr 19118
This theorem is referenced by:  psrgrp  19160  psr0  19161
  Copyright terms: Public domain W3C validator