MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1 19179
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1.z 0 = (0g𝑅)
psr1.o 1 = (1r𝑅)
psr1.u 𝑈 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr1 (𝜑𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 psr1.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psr1.z . . 3 0 = (0g𝑅)
6 psr1.o . . 3 1 = (1r𝑅)
7 eqid 2609 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
8 eqid 2609 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psr1cl 19169 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
102adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
113adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2609 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
13 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
141, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13psrlidm 19170 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦)
151, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13psrridm 19171 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
1614, 15jca 552 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
1716ralrimiva 2948 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
181, 2, 3psrring 19178 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
19 psr1.u . . . 4 𝑈 = (1r𝑆)
208, 12, 19isringid 18342 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
2118, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
229, 17, 21mpbi2and 957 1 (𝜑𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  ifcif 4035  {csn 4124  cmpt 4637   × cxp 5026  ccnv 5027  cima 5031  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  0cc0 9792  cn 10867  0cn0 11139  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  0gc0g 15869  1rcur 18270  Ringcrg 18316   mPwSer cmps 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-psr 19123
This theorem is referenced by:  subrgpsr  19186  mplsubrg  19207  mpl1  19211
  Copyright terms: Public domain W3C validator