MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1baslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1baslem 19536
Description: The set of finite bags on 1𝑜 is just the set of all functions from 1𝑜 to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psr1baslem (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem
StepHypRef Expression
1 rabid2 3113 . 2 ((ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)(𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2 df1o2 7557 . . . 4 1𝑜 = {∅}
3 snfi 8023 . . . 4 {∅} ∈ Fin
42, 3eqeltri 2695 . . 3 1𝑜 ∈ Fin
5 cnvimass 5473 . . . 4 (𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6 elmapi 7864 . . . . 5 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑓:1𝑜⟶ℕ0)
7 fdm 6038 . . . . 5 (𝑓:1𝑜⟶ℕ0 → dom 𝑓 = 1𝑜)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → dom 𝑓 = 1𝑜)
95, 8syl5sseq 3645 . . 3 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜)
10 ssfi 8165 . . 3 ((1𝑜 ∈ Fin ∧ (𝑓 “ ℕ) ⊆ 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
114, 9, 10sylancr 694 . 2 (𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
121, 11mprgbir 2924 1 (ℕ0𝑚 1𝑜) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  wcel 1988  {crab 2913  wss 3567  c0 3907  {csn 4168  ccnv 5103  dom cdm 5104  cima 5107  wf 5872  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538  𝑚 cmap 7842  Fincfn 7940  cn 11005  0cn0 11277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-1o 7545  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-fin 7944
This theorem is referenced by:  psr1bas  19542  ply1basf  19553  ply1plusgfvi  19593  coe1z  19614  coe1mul2  19620  coe1tm  19624  ply1coe  19647  deg1ldg  23833  deg1leb  23836  deg1val  23837
  Copyright terms: Public domain W3C validator