Theorem psr1baslem 20356

Description: The set of finite bags on 1_o is just the set of all functions from 1_o to ℕ₀. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
psr1baslem	⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Proof of Theorem psr1baslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabid2 3384	. 2 ⊢ ((ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)(◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
2		df1o2 8119	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
3		snfi 8597	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
4	2, 3	eqeltri 2912	. . 3 ⊢ 1o ∈ Fin
5		cnvimass 5952	. . . 4 ⊢ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ dom 𝑓
6		elmapi 8431	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑓:1o⟶ℕ0)
7	5, 6	fssdm 6533	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o)
8		ssfi 8741	. . 3 ⊢ ((1o ∈ Fin ∧ (◡𝑓 “ ℕ) ⊆ 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
9	4, 7, 8	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin)
10	1, 9	mprgbir 3156	1 ⊢ (ℕ0 ↑m 1o) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {csn 4570  ^◡ccnv 5557   “ cima 5561  (class class class)co 7159  1_oc1o 8098   ↑_m cmap 8409  Fincfn 8512  ℕcn 11641  ℕ₀cn0 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-1o 8105  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-fin 8516

This theorem is referenced by:  psr1bas  20362  ply1basf  20373  ply1plusgfvi  20413  coe1z  20434  coe1mul2  20440  coe1tm  20444  ply1coe  20467  deg1ldg  24689  deg1leb  24692  deg1val  24693