Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass1 19453
 Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrass1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psrass.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psrass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrass.t . . . . 5 × = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrass.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrass.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 19436 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
10 psrass.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 19436 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 19427 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1312ffnd 6084 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) Fn 𝐷)
141, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 19436 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
151, 4, 5, 6, 7, 14psrmulcl 19436 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 19427 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6084 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) Fn 𝐷)
18 eqid 2651 . . . . 5 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
19 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐼𝑉)
21 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
22 ringcmn 18627 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
256ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑅 ∈ Ring)
271, 2, 3, 4, 7psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2827ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
29 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
30 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
3130elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
3229, 31sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
3332simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
3428, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
361, 2, 3, 4, 8psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3736ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})
39 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗) ↔ 𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4039elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↔ (𝑛𝐷𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4138, 40sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑛𝐷𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4241simpld 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛𝐷)
4337, 42ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑌𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
441, 2, 3, 4, 10psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4544ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4619ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝐼𝑉)
48 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
493psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
5046, 33, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
5132simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
523psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
5346, 48, 50, 51, 52syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
5453simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
563psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑛𝐷) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
5747, 42, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
5841simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗))
593psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷𝑛:𝐼⟶ℕ0𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗))) → (((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
6047, 55, 57, 58, 59syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
6160simpld 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷)
6245, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
63 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
642, 63ringcl 18607 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
6526, 43, 62, 64syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
662, 63ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
6726, 35, 65, 66syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
6867anasss 680 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
69 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → (𝑌𝑛) = (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))
70 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) = ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))
7170fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) = (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))
7269, 71oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))
7372oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))
743, 18, 20, 21, 2, 24, 68, 73psrass1lem 19425 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))))
757ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋𝐵)
768ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌𝐵)
77 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
78 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
7978elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
8077, 79sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
8180simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
821, 4, 63, 5, 3, 75, 76, 81psrmulval 19434 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋 × 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))))))
8382oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
84 eqid 2651 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
866ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
8719ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
883psrbaglefi 19420 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝐷𝑟𝑘} ∈ Fin)
8987, 81, 88syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → {𝐷𝑟𝑘} ∈ Fin)
9044ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
91 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
923psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
9387, 81, 92syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
9480simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
953psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
9687, 91, 93, 94, 95syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
9796simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
9890, 97ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
9986adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
10027ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
101 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘})
102 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑗 → (𝑟𝑘𝑗𝑟𝑘))
103102elrab 3396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑘))
104101, 103sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑘))
105104simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗𝐷)
106100, 105ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
10736ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
10981adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
110108, 105, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
111104simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗𝑟𝑘)
1123psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑘𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑘)) → ((𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑗) ∘𝑟𝑘))
113108, 109, 110, 111, 112syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑗) ∘𝑟𝑘))
114113simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
115107, 114ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
1162, 63ringcl 18607 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
11799, 106, 115, 116syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
118 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))))
119 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (0g𝑅) ∈ V)
121118, 89, 117, 120fsuppmptdm 8327 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))) finSupp (0g𝑅))
1222, 84, 85, 63, 86, 89, 98, 117, 121gsummulc1 18652 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
12398adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
1242, 63ringass 18610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
12599, 106, 115, 123, 124syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
1263psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
12719, 126sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
128127ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
129128ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
13093adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
131130ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑘𝑧) ∈ ℕ0)
132110ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
133 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
134 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑧) ∈ ℂ)
135 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
136 nnncan2 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
137133, 134, 135, 136syl3an 1408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
138129, 131, 132, 137syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
139138mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧))))
140 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
141 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
142128feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
143110feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
144108, 129, 132, 142, 143offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
145130feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑘𝑧)))
146108, 131, 132, 145, 143offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))))
147108, 140, 141, 144, 146offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)))))
148108, 129, 131, 142, 145offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧))))
149139, 147, 1483eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)) = (𝑥𝑓𝑘))
150149fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))) = (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))
151150oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
152151oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
153125, 152eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))
154153mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))))
155154oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))
15683, 122, 1553eqtr2d 2691 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))
157156mpteq2dva 4777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))))))
158157oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))))
1598ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌𝐵)
16010ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑍𝐵)
1611, 4, 63, 5, 3, 159, 160, 54psrmulval 19434 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))))
162161oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
1633psrbaglefi 19420 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷) → {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin)
16446, 54, 163syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin)
165 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1663, 165rab2ex 4848 . . . . . . . . . . . 12 {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ V
167166mptex 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V
168 funmpt 5964 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
169167, 168, 1193pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
171 suppssdm 7353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
172 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) = (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
173172dmmptss 5669 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}
174171, 173sstri 3645 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}
175174a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})
176 suppssfifsupp 8331 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})) → (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) finSupp (0g𝑅))
177170, 164, 175, 176syl12anc 1364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) finSupp (0g𝑅))
1782, 84, 85, 63, 25, 164, 34, 65, 177gsummulc2 18653 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
179162, 178eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
180179mpteq2dva 4777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))))))
181180oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))))
18274, 158, 1813eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))))
1839adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
18410adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍𝐵)
1851, 4, 63, 5, 3, 183, 184, 21psrmulval 19434 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))))
1867adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑋𝐵)
18714adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
1881, 4, 63, 5, 3, 186, 187, 21psrmulval 19434 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))))
189182, 185, 1883eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥))
19013, 17, 189eqfnfvd 6354 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143   “ cima 5146  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ∘𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  ℂcc 9972   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593   mPwSer cmps 19399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-psr 19404 This theorem is referenced by:  psrring  19459
 Copyright terms: Public domain W3C validator