MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass1 19453
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrass1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑍   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass1
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psrass.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psrass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrass.t . . . . 5 × = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrass.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrass.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 19436 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
10 psrass.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝐵)
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 19436 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 19427 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1312ffnd 6084 . 2 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) Fn 𝐷)
141, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 19436 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
151, 4, 5, 6, 7, 14psrmulcl 19436 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) ∈ 𝐵)
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 19427 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6084 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)) Fn 𝐷)
18 eqid 2651 . . . . 5 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
19 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐼𝑉)
21 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
22 ringcmn 18627 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
236, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
256ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑅 ∈ Ring)
271, 2, 3, 4, 7psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2827ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
29 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
30 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
3130elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
3229, 31sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
3332simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
3428, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
361, 2, 3, 4, 8psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3736ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
38 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})
39 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 ( = 𝑛 → (𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗) ↔ 𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4039elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↔ (𝑛𝐷𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4138, 40sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑛𝐷𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
4241simpld 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛𝐷)
4337, 42ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑌𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
441, 2, 3, 4, 10psrelbas 19427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4544ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
4619ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝐼𝑉)
48 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
493psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
5046, 33, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
5132simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
523psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
5346, 48, 50, 51, 52syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
5453simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
563psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑛𝐷) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
5747, 42, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛:𝐼⟶ℕ0)
5841simprd 478 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → 𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗))
593psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷𝑛:𝐼⟶ℕ0𝑛𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗))) → (((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
6047, 55, 57, 58, 59syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)))
6160simpld 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) ∈ 𝐷)
6245, 61ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) ∈ (Base‘𝑅))
63 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
642, 63ringcl 18607 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
6526, 43, 62, 64syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
662, 63ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
6726, 35, 65, 66syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
6867anasss 680 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∧ 𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ (Base‘𝑅))
69 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → (𝑌𝑛) = (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))
70 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛) = ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))
7170fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)) = (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))
7269, 71oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))
7372oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘𝑓𝑗) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))
743, 18, 20, 21, 2, 24, 68, 73psrass1lem 19425 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))))
757ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋𝐵)
768ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌𝐵)
77 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
78 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
7978elrab 3396 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
8077, 79sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
8180simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
821, 4, 63, 5, 3, 75, 76, 81psrmulval 19434 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋 × 𝑌)‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))))))
8382oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
84 eqid 2651 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85 eqid 2651 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
866ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
8719ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
883psrbaglefi 19420 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝐷𝑟𝑘} ∈ Fin)
8987, 81, 88syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → {𝐷𝑟𝑘} ∈ Fin)
9044ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑍:𝐷⟶(Base‘𝑅))
91 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
923psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
9387, 81, 92syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
9480simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
953psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
9687, 91, 93, 94, 95syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
9796simpld 474 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
9890, 97ffvelrnd 6400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
9986adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
10027ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
101 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘})
102 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 ( = 𝑗 → (𝑟𝑘𝑗𝑟𝑘))
103102elrab 3396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑘))
104101, 103sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑘))
105104simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗𝐷)
106100, 105ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
10736ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10887adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
10981adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
110108, 105, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
111104simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗𝑟𝑘)
1123psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑘𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑘)) → ((𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑗) ∘𝑟𝑘))
113108, 109, 110, 111, 112syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑘𝑓𝑗) ∘𝑟𝑘))
114113simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
115107, 114ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
1162, 63ringcl 18607 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
11799, 106, 115, 116syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))) ∈ (Base‘𝑅))
118 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))))
119 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) ∈ V
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (0g𝑅) ∈ V)
121118, 89, 117, 120fsuppmptdm 8327 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))) finSupp (0g𝑅))
1222, 84, 85, 63, 86, 89, 98, 117, 121gsummulc1 18652 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
12398adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
1242, 63ringass 18610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑋𝑗) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
12599, 106, 115, 123, 124syl13anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
1263psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
12719, 126sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
128127ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
129128ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
13093adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
131130ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑘𝑧) ∈ ℕ0)
132110ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
133 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
134 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑧) ∈ ℂ)
135 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
136 nnncan2 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
137133, 134, 135, 136syl3an 1408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑘𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
138129, 131, 132, 137syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))) = ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧)))
139138mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧))))
140 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
141 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
142128feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
143110feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
144108, 129, 132, 142, 143offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
145130feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → 𝑘 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑘𝑧)))
146108, 131, 132, 145, 143offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧))))
147108, 140, 141, 144, 146offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ (((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) − ((𝑘𝑧) − (𝑗𝑧)))))
148108, 129, 131, 142, 145offval2 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑘𝑧))))
149139, 147, 1483eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)) = (𝑥𝑓𝑘))
150149fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))) = (𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))
151150oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))) = ((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))
152151oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))))
153125, 152eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘}) → (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))
154153mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))))
155154oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ (((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑗)))(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))
15683, 122, 1553eqtr2d 2691 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))
157156mpteq2dva 4777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗)))))))))
158157oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝐷𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌‘(𝑘𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓 − (𝑘𝑓𝑗))))))))))
1598ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌𝐵)
16010ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑍𝐵)
1611, 4, 63, 5, 3, 159, 160, 54psrmulval 19434 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗)) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))))
162161oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
1633psrbaglefi 19420 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷) → {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin)
16446, 54, 163syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin)
165 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1663, 165rab2ex 4848 . . . . . . . . . . . 12 {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ V
167166mptex 6527 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V
168 funmpt 5964 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
169167, 168, 1193pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
171 suppssdm 7353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
172 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) = (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))
173172dmmptss 5669 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}
174171, 173sstri 3645 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)}
175174a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})
176 suppssfifsupp 8331 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∈ V ∧ Fun (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ∈ Fin ∧ ((𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)})) → (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) finSupp (0g𝑅))
177170, 164, 175, 176syl12anc 1364 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))) finSupp (0g𝑅))
1782, 84, 85, 63, 25, 164, 34, 65, 177gsummulc2 18653 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))) = ((𝑋𝑗)(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
179162, 178eqtr4d 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))
180179mpteq2dva 4777 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛))))))))
181180oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑅 Σg (𝑛 ∈ {𝐷𝑟 ≤ (𝑥𝑓𝑗)} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌𝑛)(.r𝑅)(𝑍‘((𝑥𝑓𝑗) ∘𝑓𝑛)))))))))
18274, 158, 1813eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))))
1839adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
18410adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑍𝐵)
1851, 4, 63, 5, 3, 183, 184, 21psrmulval 19434 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (((𝑋 × 𝑌)‘𝑘)(.r𝑅)(𝑍‘(𝑥𝑓𝑘))))))
1867adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑋𝐵)
18714adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑌 × 𝑍) ∈ 𝐵)
1881, 4, 63, 5, 3, 186, 187, 21psrmulval 19434 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑗)(.r𝑅)((𝑌 × 𝑍)‘(𝑥𝑓𝑗))))))
189182, 185, 1883eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑𝑥𝐷) → (((𝑋 × 𝑌) × 𝑍)‘𝑥) = ((𝑋 × (𝑌 × 𝑍))‘𝑥))
19013, 17, 189eqfnfvd 6354 1 (𝜑 → ((𝑋 × 𝑌) × 𝑍) = (𝑋 × (𝑌 × 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  cc 9972  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593   mPwSer cmps 19399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-psr 19404
This theorem is referenced by:  psrring  19459
  Copyright terms: Public domain W3C validator