Theorem psrassa 20193

Description: The ring of power series is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrcnrg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrcnrg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrcnrg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
psrassa	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem psrassa

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆))
2		psrcnrg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrcnrg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		psrcnrg.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	2, 3, 4	psrsca 20168	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
6		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
7		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆))
8		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆))
9		crngring 19307	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	4, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	2, 3, 10	psrlmod 20180	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
12	2, 3, 10	psrring 20190	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
13	3	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2821	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
17		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
18		simpr2 1191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
19		simpr3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))
20	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑅 ∈ CRing)
21		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
23		simpr1 1190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
24	2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	psrass23 20189	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)) ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧))))
25	24	simpld 497	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑦)(.r‘𝑆)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
26	24	simprd 498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑆)(𝑦(.r‘𝑆)𝑧)))
27	1, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 4, 25, 26	isassad 20095	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  ^◡ccnv 5553   “ cima 5557  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ↑_m cmap 8405  Fincfn 8508  ℕcn 11637  ℕ₀cn0 11896  Basecbs 16482  ._rcmulr 16565   ·_𝑠 cvsca 16568  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297  AssAlgcasa 20081   mPwSer cmps 20130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-tset 16583  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mulg 18224  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-lmod 19635  df-assa 20084  df-psr 20135

This theorem is referenced by:  mplassa  20234  mplbas2  20250  opsrassa  20268  mplind  20281  evlseu  20295