MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagaddcl 19310
Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagaddcl ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagaddcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 11288 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
21adantl 482 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ0)
3 simp2 1060 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹𝐷)
4 psrbag.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
54psrbag 19304 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
653ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
73, 6mpbid 222 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
87simpld 475 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
9 simp3 1061 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺𝐷)
104psrbag 19304 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
11103ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺𝐷 ↔ (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)))
129, 11mpbid 222 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin))
1312simpld 475 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
14 simp1 1059 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐼𝑉)
15 inidm 3806 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
162, 8, 13, 14, 14, 15off 6877 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0)
17 frnnn0supp 11309 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) supp 0) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ))
1814, 16, 17syl2anc 692 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) supp 0) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ))
19 fvexd 6170 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
20 fvexd 6170 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ V)
218feqmptd 6216 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2213feqmptd 6216 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 𝐺 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐺𝑥)))
2314, 19, 20, 21, 22offval2 6879 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))))
2423oveq1d 6630 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) supp 0) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
2518, 24eqtr3d 2657 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0))
26 frnnn0supp 11309 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
2714, 8, 26syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
287simprd 479 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
2927, 28eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
30 frnnn0supp 11309 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐺:𝐼⟶ℕ0) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3114, 13, 30syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) = (𝐺 “ ℕ))
3212simprd 479 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 “ ℕ) ∈ Fin)
3331, 32eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
34 unfi 8187 . . . . 5 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3529, 33, 34syl2anc 692 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
36 ssun1 3760 . . . . . . . . 9 (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
38 c0ex 9994 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → 0 ∈ V)
408, 37, 14, 39suppssr 7286 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐹𝑥) = 0)
41 ssun2 3761 . . . . . . . . 9 (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐺 supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
4313, 42, 14, 39suppssr 7286 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → (𝐺𝑥) = 0)
4440, 43oveq12d 6633 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = (0 + 0))
45 00id 10171 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
4644, 45syl6eq 2671 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))) → ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥)) = 0)
4746, 14suppss2 7289 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
48 ssfi 8140 . . . 4 ((((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
4935, 47, 48syl2anc 692 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐺𝑥))) supp 0) ∈ Fin)
5025, 49eqeltrd 2698 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
514psrbag 19304 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
52513ad2ant1 1080 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑓 + 𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
5316, 50, 52mpbir2and 956 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  Vcvv 3190  cdif 3557  cun 3558  wss 3560  cmpt 4683  ccnv 5083  cima 5087  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑓 cof 6860   supp csupp 7255  𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  0cc0 9896   + caddc 9899  cn 10980  0cn0 11252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253
This theorem is referenced by:  mplmon2mul  19441  evlslem1  19455  tdeglem3  23757
  Copyright terms: Public domain W3C validator