MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagcon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagcon 19573
Description: The analogue of the statement "0 ≤ 𝐺𝐹 implies 0 ≤ 𝐹𝐺𝐹 " for finite bags. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagcon ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹𝑓𝐺) ∘𝑟𝐹))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagcon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1234 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐹𝐷)
2 psrbag.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbag 19566 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
43adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹𝐷 ↔ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)))
51, 4mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
65simpld 477 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
7 ffn 6206 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℕ0𝐹 Fn 𝐼)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9 simpr2 1236 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐺:𝐼⟶ℕ0)
10 ffn 6206 . . . . . 6 (𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺 Fn 𝐼)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐺 Fn 𝐼)
12 simpl 474 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐼𝑉)
13 inidm 3965 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
148, 11, 12, 12, 13offn 7073 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐼)
15 eqidd 2761 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
16 eqidd 2761 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
178, 11, 12, 12, 13, 15, 16ofval 7071 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
18 simpr3 1238 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → 𝐺𝑟𝐹)
1911, 8, 12, 12, 13, 16, 15ofrfval 7070 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐺𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
2018, 19mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ∀𝑥𝐼 (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
2120r19.21bi 3070 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
229ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℕ0)
236ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
24 nn0sub 11535 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2522, 23, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0))
2621, 25mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℕ0)
2717, 26eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2827ralrimiva 3104 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0)
29 ffnfv 6551 . . . 4 ((𝐹𝑓𝐺):𝐼⟶ℕ0 ↔ ((𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) ∈ ℕ0))
3014, 28, 29sylanbrc 701 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹𝑓𝐺):𝐼⟶ℕ0)
315simprd 482 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
3222nn0ge0d 11546 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝐺𝑥))
33 nn0re 11493 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ ℕ0 → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34 nn0re 11493 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑥) ∈ ℕ0 → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
35 subge02 10736 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3633, 34, 35syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑥) ∈ ℕ0 ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3723, 22, 36syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → (0 ≤ (𝐺𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
3832, 37mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
3938ralrimiva 3104 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥))
4014, 8, 12, 12, 13, 17, 15ofrfval 7070 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) ∘𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ≤ (𝐹𝑥)))
4139, 40mpbird 247 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹𝑓𝐺) ∘𝑟𝐹)
422psrbaglesupp 19570 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷 ∧ (𝐹𝑓𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝐹𝑓𝐺) ∘𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
4312, 1, 30, 41, 42syl13anc 1479 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
44 ssfi 8345 . . . 4 (((𝐹 “ ℕ) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ⊆ (𝐹 “ ℕ)) → ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
4531, 43, 44syl2anc 696 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)
462psrbag 19566 . . . 4 (𝐼𝑉 → ((𝐹𝑓𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑓𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4746adantr 472 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐹𝑓𝐺):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝐹𝑓𝐺) “ ℕ) ∈ Fin)))
4830, 45, 47mpbir2and 995 . 2 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → (𝐹𝑓𝐺) ∈ 𝐷)
4948, 41jca 555 1 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝐺:𝐼⟶ℕ0𝐺𝑟𝐹)) → ((𝐹𝑓𝐺) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹𝑓𝐺) ∘𝑟𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  wss 3715   class class class wbr 4804  ccnv 5265  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑟 cofr 7061  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  cr 10127  0cc0 10128  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485
This theorem is referenced by:  psrbagconcl  19575  psrbagconf1o  19576  gsumbagdiaglem  19577  psrmulcllem  19589  psrlidm  19605  psrridm  19606  psrass1  19607  psrcom  19611
  Copyright terms: Public domain W3C validator