Theorem psrbagconcl 20152

Description: The complement of a bag is a bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconcl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
4		breq1 5068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
5		psrbagconf1o.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
6	4, 5	elrab2 3682	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
7	3, 6	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
8	7	simpld 497	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
10	9	psrbagf 20144	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	1, 8, 10	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
12	7	simprd 498	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
13	9	psrbagcon 20150	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
14	1, 2, 11, 12, 13	syl13anc 1368	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
15		breq1 5068	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐹 ∘f − 𝑋) → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
16	15, 5	elrab2 3682	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
17	14, 16	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   class class class wbr 5065  ^◡ccnv 5553   “ cima 5557  ⟶wf 6350  (class class class)co 7155   ∘_f cof 7406   ∘_r cofr 7407   ↑_m cmap 8405  Fincfn 8508   ≤ cle 10675   − cmin 10869  ℕcn 11637  ℕ₀cn0 11896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897

This theorem is referenced by:  psrass1lem  20156  psrdi  20185  psrdir  20186  psrass23l  20187  psrcom  20188  psrass23  20189  resspsrmul  20196  mplsubrglem  20218  mplmonmul  20244  psropprmul  20405  mdegmullem  24671