Theorem psrbagfsupp 20283

Description: Finite bags have finite nonzero-support. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbagfsupp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
psrbagfsupp	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   ℎ,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(ℎ)   𝑉(ℎ)

Proof of Theorem psrbagfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbagfsupp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
2	1	psrbag 20138	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin)))
3	2	biimpac 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
4	3	simprd 498	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	1	psrbagf 20139	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
7	6	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
8		frnnn0fsupp 11948	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0) → (𝑋 finSupp 0 ↔ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
9	5, 7, 8	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑋 finSupp 0 ↔ (◡𝑋 “ ℕ) ∈ Fin))
10	4, 9	mpbird 259	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   class class class wbr 5058  ^◡ccnv 5548   “ cima 5552  ⟶wf 6345  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Fincfn 8503   finSupp cfsupp 8827  0cc0 10531  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fsupp 8828  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-nn 11633  df-n0 11892

This theorem is referenced by:  psrbagev1  20284  tdeglem1  24646  tdeglem3  24647  tdeglem4  24648