MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaglefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaglefi 19294
Description: There are finitely many bags dominated by a given bag. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbaglefi ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbaglefi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2916 . . 3 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹)}
2 psrbag.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
32psrbag 19286 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉 → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin)))
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin)))
5 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
64, 5syl6bi 243 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0))
76adantrd 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
8 ss2ixp 7868 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0)
9 fz0ssnn0 12379 . . . . . . . . . 10 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ ℕ0)
118, 10mprg 2921 . . . . . . . 8 X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ⊆ X𝑥𝐼0
1211sseli 3580 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦X𝑥𝐼0)
13 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1413elixpconst 7863 . . . . . . 7 (𝑦X𝑥𝐼0𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1512, 14sylib 208 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
1615a1i 11 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0))
17 ffn 6004 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦 Fn 𝐼)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝑦 Fn 𝐼)
1913elixp 7862 . . . . . . . . 9 (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
2019baib 943 . . . . . . . 8 (𝑦 Fn 𝐼 → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥))))
22 ffvelrn 6315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
2322adantll 749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
24 nn0uz 11669 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
2523, 24syl6eleq 2708 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0))
262psrbagf 19287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹:𝐼⟶ℕ0)
2827ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℕ0)
2928nn0zd 11427 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
30 elfz5 12279 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑥) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3125, 29, 30syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3231ralbidva 2979 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3327ffnd 6005 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 Fn 𝐼)
34 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → 𝐼𝑉)
35 inidm 3802 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
36 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
37 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3818, 33, 34, 34, 35, 36, 37ofrfval 6861 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦𝑟𝐹 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ≤ (𝐹𝑥)))
3932, 38bitr4d 271 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ (0...(𝐹𝑥)) ↔ 𝑦𝑟𝐹))
402psrbaglecl 19291 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝐹𝐷𝑦:𝐼⟶ℕ0𝑦𝑟𝐹)) → 𝑦𝐷)
41403exp2 1282 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → (𝐹𝐷 → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → (𝑦𝑟𝐹𝑦𝐷))))
4241imp31 448 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦𝑟𝐹𝑦𝐷))
4342pm4.71rd 666 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → (𝑦𝑟𝐹 ↔ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹)))
4421, 39, 433bitrrd 295 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑦:𝐼⟶ℕ0) → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4544ex 450 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝑦:𝐼⟶ℕ0 → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))))
467, 16, 45pm5.21ndd 369 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → ((𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹) ↔ 𝑦X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥))))
4746abbi1dv 2740 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦 ∣ (𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹)} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
481, 47syl5eq 2667 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} = X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)))
49 simpr 477 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐹𝐷)
50 cnveq 5258 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
5150imaeq1d 5426 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 “ ℕ) = (𝐹 “ ℕ))
5251eleq1d 2683 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5352, 2elrab2 3349 . . . . 5 (𝐹𝐷 ↔ (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5449, 53sylib 208 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∧ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
5554simprd 479 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin)
56 fzfid 12715 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
57 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 𝐼𝑉)
5857, 26jca 554 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0))
59 frnnn0supp 11296 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
60 eqimss 3638 . . . . . . . 8 ((𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 “ ℕ))
62 c0ex 9981 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6362a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → 0 ∈ V)
6426, 61, 57, 63suppssr 7274 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (𝐹𝑥) = 0)
6564oveq2d 6623 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = (0...0))
66 fz0sn 12383 . . . . 5 (0...0) = {0}
6765, 66syl6eq 2671 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) = {0})
68 eqimss 3638 . . . 4 ((0...(𝐹𝑥)) = {0} → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
6967, 68syl 17 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝐷) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 “ ℕ))) → (0...(𝐹𝑥)) ⊆ {0})
7055, 56, 69ixpfi2 8211 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → X𝑥𝐼 (0...(𝐹𝑥)) ∈ Fin)
7148, 70eqeltrd 2698 1 ((𝐼𝑉𝐹𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝐹} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3553  wss 3556  {csn 4150   class class class wbr 4615  ccnv 5075  cima 5079   Fn wfn 5844  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  𝑟 cofr 6852   supp csupp 7243  𝑚 cmap 7805  Xcixp 7855  Fincfn 7902  0cc0 9883  cle 10022  cn 10967  0cn0 11239  cz 11324  cuz 11634  ...cfz 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  19298  psrass1lem  19299  psrmulcllem  19309  psrass1  19327  psrdi  19328  psrdir  19329  psrass23l  19330  psrcom  19331  psrass23  19332  resspsrmul  19339  mplsubrglem  19361  mplmonmul  19386  psropprmul  19530
  Copyright terms: Public domain W3C validator