Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbas 19318
 Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
psrbas (𝜑𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
Distinct variable group:   𝑓,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbas
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrbas.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2621 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2621 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrbas.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (𝐾𝑚 𝐷) = (𝐾𝑚 𝐷))
8 eqid 2621 . . . . 5 ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷))) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))
9 eqid 2621 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
10 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔)) = (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))
11 eqidd 2622 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12 psrbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝐼𝑉)
14 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14psrval 19302 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1615fveq2d 6162 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17 psrbas.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
18 ovex 6643 . . . 4 (𝐾𝑚 𝐷) ∈ V
19 psrvalstr 19303 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20 baseid 15859 . . . . 5 Base = Slot (Base‘ndx)
21 snsstp1 4322 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩}
22 ssun1 3760 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2321, 22sstri 3597 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2419, 20, 23strfv 15847 . . . 4 ((𝐾𝑚 𝐷) ∈ V → (𝐾𝑚 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2518, 24ax-mp 5 . . 3 (𝐾𝑚 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾𝑚 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ ((𝐾𝑚 𝐷) × (𝐾𝑚 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷), ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑔𝑥)(.r𝑅)(‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾𝑚 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2616, 17, 253eqtr4g 2680 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
27 reldmpsr 19301 . . . . . . . 8 Rel dom mPwSer
2827ovprc2 6650 . . . . . . 7 𝑅 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
2928adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
301, 29syl5eq 2667 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3130fveq2d 6162 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
32 base0 15852 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
3331, 17, 323eqtr4g 2680 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
34 fvprc 6152 . . . . . 6 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
3534adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) = ∅)
362, 35syl5eq 2667 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐾 = ∅)
376fczpsrbag 19307 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3812, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
3938adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
40 ne0i 3903 . . . . 5 ((𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷𝐷 ≠ ∅)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐷 ≠ ∅)
42 fvex 6168 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
432, 42eqeltri 2694 . . . . 5 𝐾 ∈ V
44 ovex 6643 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
456, 44rabex2 4785 . . . . 5 𝐷 ∈ V
4643, 45map0 7858 . . . 4 ((𝐾𝑚 𝐷) = ∅ ↔ (𝐾 = ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅))
4736, 41, 46sylanbrc 697 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐾𝑚 𝐷) = ∅)
4833, 47eqtr4d 2658 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
4926, 48pm2.61dan 831 1 (𝜑𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  {crab 2912  Vcvv 3190   ∪ cun 3558  ∅c0 3897  {csn 4155  {ctp 4159  ⟨cop 4161   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683   × cxp 5082  ◡ccnv 5083   ↾ cres 5086   “ cima 5087  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617   ∘𝑓 cof 6860   ∘𝑟 cofr 6861   ↑𝑚 cmap 7817  Fincfn 7915  0cc0 9896  1c1 9897   ≤ cle 10035   − cmin 10226  ℕcn 10980  9c9 11037  ℕ0cn0 11252  ndxcnx 15797  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  TopSetcts 15887  TopOpenctopn 16022  ∏tcpt 16039   Σg cgsu 16041   mPwSer cmps 19291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-tset 15900  df-psr 19296 This theorem is referenced by:  psrelbas  19319  psrplusg  19321  psraddcl  19323  psrmulr  19324  psrmulcllem  19327  psrsca  19329  psrvscafval  19330  psrvscacl  19333  psr0cl  19334  psrnegcl  19336  psr1cl  19342  resspsrbas  19355  resspsradd  19356  resspsrmul  19357  subrgpsr  19359  mvrf  19364  mplmon  19403  mplcoe1  19405  opsrtoslem2  19425  psr1bas  19501  psrbaspropd  19545  ply1plusgfvi  19552
 Copyright terms: Public domain W3C validator