Theorem psrbas 20160

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
psrbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbas

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrbas.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6		psrbas.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m 𝐷) = (𝐾 ↑m 𝐷))
8		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷))) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))
9		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))) = (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
10		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔)) = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))
11		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
12		psrbas.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ 𝑉)
14		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14	psrval 20144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
16	15	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17		psrbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
18		ovex 7191	. . . 4 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V
19		psrvalstr 20145	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
20		baseid 16545	. . . . 5 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
21		snsstp1 4751	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩}
22		ssun1 4150	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
23	21, 22	sstri 3978	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
24	19, 20, 23	strfv 16533	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐷) ∈ V → (𝐾 ↑m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
25	18, 24	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐷) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝐾 ↑m 𝐷)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ ((𝐾 ↑m 𝐷) × (𝐾 ↑m 𝐷)))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷), ℎ ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑔‘𝑥)(.r‘𝑅)(ℎ‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑔 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f (.r‘𝑅)𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
26	16, 17, 25	3eqtr4g 2883	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
27		reldmpsr 20143	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom mPwSer
28	27	ovprc2 7198	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
29	28	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
30	1, 29	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
31	30	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
32		base0 16538	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
33	31, 17, 32	3eqtr4g 2883	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
34		fvprc 6665	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = ∅)
35	34	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) = ∅)
36	2, 35	syl5eq 2870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐾 = ∅)
37	6	fczpsrbag 20149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
38	12, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
39	38	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
40	39	ne0d 4303	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐷 ≠ ∅)
41	2	fvexi 6686	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
42		ovex 7191	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
43	6, 42	rabex2 5239	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
44	41, 43	map0 8453	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ↑m 𝐷) = ∅ ↔ (𝐾 = ∅ ∧ 𝐷 ≠ ∅))
45	36, 40, 44	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m 𝐷) = ∅)
46	33, 45	eqtr4d 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
47	26, 46	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {crab 3144  Vcvv 3496   ∪ cun 3936  ∅c0 4293  {csn 4569  {ctp 4573  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556   ↾ cres 5559   “ cima 5560  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160   ∘_f cof 7409   ∘_r cofr 7410   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511  0cc0 10539  1c1 10540   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  9c9 11702  ℕ₀cn0 11900  ndxcnx 16482  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  TopSetcts 16573  TopOpenctopn 16697  ∏_tcpt 16714   Σ_g cgsu 16716   mPwSer cmps 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-psr 20138

This theorem is referenced by:  psrelbas  20161  psrplusg  20163  psraddcl  20165  psrmulr  20166  psrmulcllem  20169  psrsca  20171  psrvscafval  20172  psrvscacl  20175  psr0cl  20176  psrnegcl  20178  psr1cl  20184  resspsrbas  20197  resspsradd  20198  resspsrmul  20199  subrgpsr  20201  mvrf  20206  mplmon  20246  mplcoe1  20248  opsrtoslem2  20267  psr1bas  20361  psrbaspropd  20405  ply1plusgfvi  20412  fply1  30933  selvval2lem4  39143