MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbaspropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbaspropd 20331
Description: Property deduction for power series base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbaspropd.e (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
psrbaspropd (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))

Proof of Theorem psrbaspropd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2818 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
4 eqid 2818 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
5 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
61, 2, 3, 4, 5psrbas 20086 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
7 eqid 2818 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝑆) = (𝐼 mPwSer 𝑆)
8 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆))
107, 8, 3, 9, 5psrbas 20086 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
11 psrbaspropd.e . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑆))
1312oveq1d 7160 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) = ((Base‘𝑆) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
1410, 13eqtr4d 2856 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}))
156, 14eqtr4d 2856 . 2 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
16 reldmpsr 20069 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
1716ovprc1 7184 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
1816ovprc1 7184 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑆) = ∅)
1917, 18eqtr4d 2856 . . . 4 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑆))
2019fveq2d 6667 . . 3 𝐼 ∈ V → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
2120adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
2215, 21pm2.61dan 809 1 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  c0 4288  ccnv 5547  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471   mPwSer cmps 20059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-psr 20064
This theorem is referenced by:  psrplusgpropd  20332  mplbaspropd  20333  psropprmul  20334
  Copyright terms: Public domain W3C validator