MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcom 19176
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcom (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2609 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18350 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psrass.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbaglefi 19139 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
107, 9sylan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
113ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
12 psrring.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 psrass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 19146 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1615ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
18 breq1 4580 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
1918elrab 3330 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2017, 19sylib 206 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2120simpld 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
2216, 21ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
23 psrass.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 19146 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
267ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
27 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
288psrbagf 19132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2926, 21, 28syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
3020simprd 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
318psrbagcon 19138 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3332simpld 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
3425, 33ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2609 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18330 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3711, 22, 34, 36syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
3937, 38fmptd 6277 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}⟶(Base‘𝑅))
40 ovex 6555 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
418, 40rabex2 4737 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ V)
43 rabexg 4734 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
45 mptexg 6367 . . . . . . 7 ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
47 funmpt 5826 . . . . . . 7 Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
49 fvex 6098 . . . . . . 7 (0g𝑅) ∈ V
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
51 suppssdm 7172 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
5238dmmptss 5534 . . . . . . . 8 dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5351, 52sstri 3576 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5453a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
55 suppssfifsupp 8150 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
5646, 48, 50, 10, 54, 55syl32anc 1325 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
57 eqid 2609 . . . . . . 7 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
588, 57psrbagconf1o 19141 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
597, 58sylan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
601, 2, 6, 10, 39, 56, 59gsumf1o 18086 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))))
617ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
62 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
63 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
648, 57psrbagconcl 19140 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐷𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
6561, 62, 63, 64syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
66 eqidd 2610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))
67 eqidd 2610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
68 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))
69 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))
7069fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) = (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))
7168, 70oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))))
7265, 66, 67, 71fmptco 6288 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))))
738psrbagf 19132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
747, 73sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7574adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7675ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
77 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
7877elrab 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7963, 78sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
8079simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
818psrbagf 19132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8261, 80, 81syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8382ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
84 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
85 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
86 nncan 10161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8784, 85, 86syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8876, 83, 87syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8988mpteq2dva 4666 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
90 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
9275feqmptd 6144 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
9382feqmptd 6144 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
9461, 76, 83, 92, 93offval2 6789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
9561, 76, 91, 92, 94offval2 6789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))))
9689, 95, 933eqtr4d 2653 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = 𝑗)
9796fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑌𝑗))
9897oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
99 psrcom.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
10099ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
10115ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10279simprd 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
1038psrbagcon 19138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
10461, 62, 82, 102, 103syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
105104simpld 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
106101, 105ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
10724ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
108107, 80ffvelrnd 6253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1091, 35crngcom 18331 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
110100, 106, 108, 109syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
11198, 110eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
112111mpteq2dva 4666 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
11372, 112eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
114113oveq2d 6543 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
11560, 114eqtrd 2643 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
116115mpteq2dva 4666 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
117 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
11812, 13, 35, 117, 8, 14, 23psrmulfval 19152 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))))
11912, 13, 35, 117, 8, 23, 14psrmulfval 19152 . 2 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
120116, 118, 1193eqtr4d 2653 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  dom cdm 5028  cima 5031  ccom 5032  Fun wfun 5784  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑟 cofr 6771   supp csupp 7159  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818   finSupp cfsupp 8135  cc 9790  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  0cn0 11139  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  0gc0g 15869   Σg cgsu 15870  CMndccmn 17962  Ringcrg 18316  CRingccrg 18317   mPwSer cmps 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-psr 19123
This theorem is referenced by:  psrcrng  19180
  Copyright terms: Public domain W3C validator