MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcom 19457
Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcom (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18627 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psrass.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbaglefi 19420 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
107, 9sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
113ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
12 psrring.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 psrass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 19427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1615ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
18 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
1918elrab 3396 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2017, 19sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2120simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
2216, 21ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
23 psrass.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 19427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
267ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
27 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
288psrbagf 19413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2926, 21, 28syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
3020simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
318psrbagcon 19419 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3332simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
3425, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2651 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3711, 22, 34, 36syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
3937, 38fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}⟶(Base‘𝑅))
40 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
418, 40rabex2 4847 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ V)
43 rabexg 4844 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
45 mptexg 6525 . . . . . . 7 ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
47 funmpt 5964 . . . . . . 7 Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
49 fvexd 6241 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
50 suppssdm 7353 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
5138dmmptss 5669 . . . . . . . 8 dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5250, 51sstri 3645 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5352a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
54 suppssfifsupp 8331 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
5546, 48, 49, 10, 53, 54syl32anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
56 eqid 2651 . . . . . . 7 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
578, 56psrbagconf1o 19422 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
587, 57sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
591, 2, 6, 10, 39, 55, 58gsumf1o 18363 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))))
607ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
61 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
62 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
638, 56psrbagconcl 19421 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐷𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
6460, 61, 62, 63syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
65 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))
66 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
67 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))
68 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))
6968fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) = (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))
7067, 69oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))))
7164, 65, 66, 70fmptco 6436 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))))
728psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
737, 72sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7574ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
76 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
7776elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7862, 77sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7978simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
808psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8160, 79, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8281ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
83 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
84 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
85 nncan 10348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8683, 84, 85syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8775, 82, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8887mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
89 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
9174feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
9281feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
9360, 75, 82, 91, 92offval2 6956 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
9460, 75, 90, 91, 93offval2 6956 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))))
9588, 94, 923eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = 𝑗)
9695fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑌𝑗))
9796oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
98 psrcom.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9998ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
10015ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10178simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
1028psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
10360, 61, 81, 101, 102syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
104103simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
105100, 104ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
10624ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
107106, 79ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1081, 35crngcom 18608 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
10999, 105, 107, 108syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
11097, 109eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
111110mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
11271, 111eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
113112oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
11459, 113eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
115114mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
116 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
11712, 13, 35, 116, 8, 14, 23psrmulfval 19433 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))))
11812, 13, 35, 116, 8, 23, 14psrmulfval 19433 . 2 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
119115, 117, 1183eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  ccom 5147  Fun wfun 5920  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  cc 9972  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   mPwSer cmps 19399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-psr 19404
This theorem is referenced by:  psrcrng  19461
  Copyright terms: Public domain W3C validator