Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcom 19457
 Description: Commutative law for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcom (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   × (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrcom
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑧 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 psrring.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 ringcmn 18627 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psrass.d . . . . . . 7 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
98psrbaglefi 19420 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
107, 9sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin)
113ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ Ring)
12 psrring.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
13 psrass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1512, 1, 8, 13, 14psrelbas 19427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1615ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
18 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑘 → (𝑔𝑟𝑥𝑘𝑟𝑥))
1918elrab 3396 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2017, 19sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑘𝐷𝑘𝑟𝑥))
2120simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝐷)
2216, 21ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
23 psrass.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
2412, 1, 8, 13, 23psrelbas 19427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
267ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
27 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
288psrbagf 19413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
2926, 21, 28syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘:𝐼⟶ℕ0)
3020simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑘𝑟𝑥)
318psrbagcon 19419 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑘:𝐼⟶ℕ0𝑘𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3226, 27, 29, 30, 31syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑘) ∘𝑟𝑥))
3332simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑘) ∈ 𝐷)
3425, 33ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2651 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
361, 35ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑘) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
3711, 22, 34, 36syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
38 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
3937, 38fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}⟶(Base‘𝑅))
40 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
418, 40rabex2 4847 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
4241a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐷 ∈ V)
43 rabexg 4844 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ V → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V)
45 mptexg 6525 . . . . . . 7 ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ V → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V)
47 funmpt 5964 . . . . . . 7 Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
4847a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
49 fvexd 6241 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (0g𝑅) ∈ V)
50 suppssdm 7353 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))
5138dmmptss 5669 . . . . . . . 8 dom (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5250, 51sstri 3645 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
5352a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
54 suppssfifsupp 8331 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
5546, 48, 49, 10, 53, 54syl32anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
56 eqid 2651 . . . . . . 7 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} = {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}
578, 56psrbagconf1o 19422 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
587, 57sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}–1-1-onto→{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
591, 2, 6, 10, 39, 55, 58gsumf1o 18363 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))))
607ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝐼𝑉)
61 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥𝐷)
62 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
638, 56psrbagconcl 19421 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐷𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
6460, 61, 62, 63syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥})
65 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))
66 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))
67 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑋𝑘) = (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))
68 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))
6968fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → (𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)) = (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))
7067, 69oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑥𝑓𝑗) → ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))))
7164, 65, 66, 70fmptco 6436 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))))
728psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
737, 72sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥:𝐼⟶ℕ0)
7574ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑥𝑧) ∈ ℕ0)
76 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑔 = 𝑗 → (𝑔𝑟𝑥𝑗𝑟𝑥))
7776elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↔ (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7862, 77sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑗𝐷𝑗𝑟𝑥))
7978simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝐷)
808psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑗𝐷) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8160, 79, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗:𝐼⟶ℕ0)
8281ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑗𝑧) ∈ ℕ0)
83 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
84 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑧) ∈ ℕ0 → (𝑗𝑧) ∈ ℂ)
85 nncan 10348 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℂ) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8683, 84, 85syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑧) ∈ ℕ0 ∧ (𝑗𝑧) ∈ ℕ0) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8775, 82, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))) = (𝑗𝑧))
8887mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))) = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
89 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)) ∈ V)
9174feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑥 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑥𝑧)))
9281feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗 = (𝑧𝐼 ↦ (𝑗𝑧)))
9360, 75, 82, 91, 92offval2 6956 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧))))
9460, 75, 90, 91, 93offval2 6956 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = (𝑧𝐼 ↦ ((𝑥𝑧) − ((𝑥𝑧) − (𝑗𝑧)))))
9588, 94, 923eqtr4d 2695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)) = 𝑗)
9695fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑌𝑗))
9796oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)))
98 psrcom.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
9998ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑅 ∈ CRing)
10015ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
10178simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑗𝑟𝑥)
1028psrbagcon 19419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑥𝐷𝑗:𝐼⟶ℕ0𝑗𝑟𝑥)) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
10360, 61, 81, 101, 102syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷 ∧ (𝑥𝑓𝑗) ∘𝑟𝑥))
104103simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑥𝑓𝑗) ∈ 𝐷)
105100, 104ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
10624ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
107106, 79ffvelrnd 6400 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
1081, 35crngcom 18608 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
10999, 105, 107, 108syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌𝑗)) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
11097, 109eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥}) → ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗)))) = ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))
111110mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓 − (𝑥𝑓𝑗))))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
11271, 111eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗))) = (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))
113112oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))) ∘ (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ (𝑥𝑓𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
11459, 113eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗))))))
115114mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
116 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
11712, 13, 35, 116, 8, 14, 23psrmulfval 19433 . 2 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑥𝑓𝑘)))))))
11812, 13, 35, 116, 8, 23, 14psrmulfval 19433 . 2 (𝜑 → (𝑌 × 𝑋) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑥} ↦ ((𝑌𝑗)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑥𝑓𝑗)))))))
119115, 117, 1183eqtr4d 2695 1 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑌 × 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143   “ cima 5146   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   ∘𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  ℂcc 9972   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594   mPwSer cmps 19399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-psr 19404 This theorem is referenced by:  psrcrng  19461
 Copyright terms: Public domain W3C validator