Theorem psrelbas 20151

Description: An element of the set of power series is a function on the coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrbas.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrbas.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Distinct variable group:   𝑓,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem psrelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbas.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		psrbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		psrbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		psrbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psrbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
6		reldmpsr 20133	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
7	6, 2, 5	elbasov 16537	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
10	2, 3, 4, 5, 9	psrbas 20150	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐾 ↑m 𝐷))
11	1, 10	eleqtrd 2913	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷))
12	3	fvexi 6677	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ V
13		ovex 7181	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
14	4, 13	rabex2 5228	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
15	12, 14	elmap 8427	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ↑m 𝐷) ↔ 𝑋:𝐷⟶𝐾)
16	11, 15	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140  Vcvv 3493  ^◡ccnv 5547   “ cima 5551  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑_m cmap 8398  Fincfn 8501  ℕcn 11630  ℕ₀cn0 11889  Basecbs 16475   mPwSer cmps 20123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-psr 20128

This theorem is referenced by:  psrelbasfun  20152  psraddcl  20155  psrmulcllem  20159  psrvscaval  20164  psrvscacl  20165  psr0lid  20167  psrnegcl  20168  psrlinv  20169  psrgrp  20170  psrlmod  20173  psrlidm  20175  psrridm  20176  psrass1  20177  psrdi  20178  psrdir  20179  psrass23l  20180  psrcom  20181  psrass23  20182  resspsrmul  20189  mplelf  20205  mplsubglem  20206  mpllsslem  20207  mplsubrglem  20211  mvrcl  20221  subrgasclcl  20271  psrplusgpropd  20396  psropprmul  20398