MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlidm 19170
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrlidm (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
9 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
10 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 19169 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
12 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 19155 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 19146 . . 3 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 5945 . 2 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 12psrelbas 19146 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 5945 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2609 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1911adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
2012adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
21 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 19153 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
23 fconstmpt 5075 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
243fczpsrbag 19134 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
257, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
2623, 25syl5eqel 2691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
283psrbagf 19132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
297, 28sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
3029ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
3130nn0ge0d 11201 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝑦𝑥))
3231ralrimiva 2948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → ∀𝑥𝐼 0 ≤ (𝑦𝑥))
33 0nn0 11154 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
3433fconst6 5993 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
35 ffn 5944 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
3729ffnd 5945 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 Fn 𝐼)
387adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
39 inidm 3783 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝐼) = 𝐼
4033a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
41 fvconst2g 6350 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℕ0𝑥𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
4240, 41sylan 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
43 eqidd 2610 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
4436, 37, 38, 38, 39, 42, 43ofrfval 6780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦 ↔ ∀𝑥𝐼 0 ≤ (𝑦𝑥)))
4532, 44mpbird 245 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦)
46 breq1 4580 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐼 × {0}) → (𝑔𝑟𝑦 ↔ (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦))
4746elrab 3330 . . . . . . . 8 ((𝐼 × {0}) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦))
4827, 45, 47sylanbrc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
4948snssd 4280 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {(𝐼 × {0})} ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
5049resmptd 5358 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))))
5150oveq2d 6543 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
52 ringcmn 18350 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
5453adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
55 ovex 6555 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
563, 55rab2ex 4738 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V)
586ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
59 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
60 breq1 4580 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔𝑟𝑦𝑧𝑟𝑦))
6160elrab 3330 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
6259, 61sylib 206 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
6362simpld 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝐷)
641, 2, 3, 4, 19psrelbas 19146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6564ffvelrnda 6252 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6663, 65syldan 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6716ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
687ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝐼𝑉)
6921adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦𝐷)
703psrbagf 19132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
7168, 63, 70syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
7262simprd 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝑟𝑦)
733psrbagcon 19138 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧𝑟𝑦)) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
7468, 69, 71, 72, 73syl13anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
7574simpld 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
7667, 75ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
772, 18ringcl 18330 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
7858, 66, 76, 77syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
79 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
8078, 79fmptd 6277 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}⟶(Base‘𝑅))
81 eldifi 3693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
8281, 62sylan2 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
8382simpld 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑧𝐷)
84 eqeq1 2613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0})))
8584ifbid 4057 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
86 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑅) ∈ V
879, 86eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
88 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
898, 88eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
9087, 89ifex 4105 . . . . . . . . . . 11 if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
9185, 10, 90fvmpt 6176 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐷 → (𝑈𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
93 eldifn 3694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
9493adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
95 velsn 4140 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
9694, 95sylnib 316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
9796iffalsed 4046 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
9892, 97eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈𝑧) = 0 )
9998oveq1d 6542 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
1006ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑅 ∈ Ring)
10181, 76sylan2 489 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
1022, 18, 8ringlz 18356 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
103100, 101, 102syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
10499, 103eqtrd 2643 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
105104, 57suppss2 7193 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})
1063, 55rabex2 4737 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
107106mptrabex 6370 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V
108107a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V)
109 funmpt 5826 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
110109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))))
11189a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
112 snfi 7900 . . . . . . 7 {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
113112a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
114 suppssfifsupp 8150 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
115108, 110, 111, 113, 105, 114syl32anc 1325 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
1162, 8, 54, 57, 80, 105, 115gsumres 18083 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
1176adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
118 ringmnd 18325 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
119117, 118syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
120 iftrue 4041 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
121120, 10, 87fvmpt 6176 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
12227, 121syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
123 nn0cn 11149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
124123subid1d 10232 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 − 0) = 𝑧)
125124adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
12638, 29, 40, 125caofid0r 6801 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})) = 𝑦)
127126fveq2d 6092 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0}))) = (𝑋𝑦))
128122, 127oveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) = ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)))
12916ffvelrnda 6252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1302, 18, 9ringlidm 18340 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)) = (𝑋𝑦))
131117, 129, 130syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)) = (𝑋𝑦))
132128, 131eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) = (𝑋𝑦))
133132, 129eqeltrd 2687 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅))
134 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑈𝑧) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
135 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑦𝑓𝑧) = (𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))
136135fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) = (𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0}))))
137134, 136oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
1382, 137gsumsn 18123 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
139119, 27, 133, 138syl3anc 1317 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
14051, 116, 1393eqtr3d 2651 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
14122, 140, 1323eqtrd 2647 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
14215, 17, 141eqfnfvd 6207 1 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  wss 3539  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  ccnv 5027  cres 5030  cima 5031  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  𝑟 cofr 6771   supp csupp 7159  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818   finSupp cfsupp 8135  0cc0 9792  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  0cn0 11139  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  0gc0g 15869   Σg cgsu 15870  Mndcmnd 17063  CMndccmn 17962  1rcur 18270  Ringcrg 18316   mPwSer cmps 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-ofr 6773  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-psr 19123
This theorem is referenced by:  psrring  19178  psr1  19179
  Copyright terms: Public domain W3C validator