MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlidm 19451
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0g𝑅)
psr1cl.o 1 = (1r𝑅)
psr1cl.u 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t · = (.r𝑆)
psrlidm.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrlidm (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 psrlidm.t . . . . 5 · = (.r𝑆)
6 psrring.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 psrring.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
8 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
9 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
10 psr1cl.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 19450 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐵)
12 psrlidm.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 19436 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) ∈ 𝐵)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 19427 . . 3 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
1514ffnd 6084 . 2 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 12psrelbas 19427 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
1716ffnd 6084 . 2 (𝜑𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2651 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1911adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈𝐵)
2012adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
21 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 19434 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
23 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
243fczpsrbag 19415 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
257, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
2623, 25syl5eqel 2734 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
283psrbagf 19413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
297, 28sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
3029ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ ℕ0)
3130nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ (𝑦𝑥))
3231ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → ∀𝑥𝐼 0 ≤ (𝑦𝑥))
33 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
3433fconst6 6133 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
35 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
3729ffnd 6084 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑦 Fn 𝐼)
387adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐼𝑉)
39 inidm 3855 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝐼) = 𝐼
4033a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
41 fvconst2g 6508 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℕ0𝑥𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
4240, 41sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
43 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) = (𝑦𝑥))
4436, 37, 38, 38, 39, 42, 43ofrfval 6947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦 ↔ ∀𝑥𝐼 0 ≤ (𝑦𝑥)))
4532, 44mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦)
46 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐼 × {0}) → (𝑔𝑟𝑦 ↔ (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦))
4746elrab 3396 . . . . . . . 8 ((𝐼 × {0}) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼 × {0}) ∘𝑟𝑦))
4827, 45, 47sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
4948snssd 4372 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {(𝐼 × {0})} ⊆ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
5049resmptd 5487 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))))
5150oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
52 ringcmn 18627 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
536, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
5453adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
55 ovex 6718 . . . . . . 7 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
563, 55rab2ex 4848 . . . . . 6 {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∈ V)
586ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
59 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
60 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 → (𝑔𝑟𝑦𝑧𝑟𝑦))
6160elrab 3396 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↔ (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
6259, 61sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
6362simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝐷)
641, 2, 3, 4, 19psrelbas 19427 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
6564ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧𝐷) → (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6663, 65syldan 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
6716ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
687ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝐼𝑉)
6921adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑦𝐷)
703psrbagf 19413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑧𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
7168, 63, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
7262simprd 478 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → 𝑧𝑟𝑦)
733psrbagcon 19419 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦𝐷𝑧:𝐼⟶ℕ0𝑧𝑟𝑦)) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
7468, 69, 71, 72, 73syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦𝑓𝑧) ∘𝑟𝑦))
7574simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑦𝑓𝑧) ∈ 𝐷)
7667, 75ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
772, 18ringcl 18607 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
7858, 66, 76, 77syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
79 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) = (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
8078, 79fmptd 6425 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))):{𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦}⟶(Base‘𝑅))
81 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦})
8281, 62sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧𝐷𝑧𝑟𝑦))
8382simpld 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑧𝐷)
84 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0})))
8584ifbid 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
86 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝑅) ∈ V
879, 86eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
88 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
898, 88eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
9087, 89ifex 4189 . . . . . . . . . . 11 if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
9185, 10, 90fvmpt 6321 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐷 → (𝑈𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
93 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
9493adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
95 velsn 4226 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
9694, 95sylnib 317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
9796iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
9892, 97eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈𝑧) = 0 )
9998oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
1006ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑅 ∈ Ring)
10181, 76sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
1022, 18, 8ringlz 18633 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
103100, 101, 102syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ( 0 (.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
10499, 103eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = 0 )
105104, 57suppss2 7374 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})
1063, 55rabex2 4847 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
107106mptrabex 6529 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V
108107a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V)
109 funmpt 5964 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))
110109a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))))
11189a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 0 ∈ V)
112 snfi 8079 . . . . . . 7 {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
113112a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
114 suppssfifsupp 8331 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
115108, 110, 111, 113, 105, 114syl32anc 1374 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) finSupp 0 )
1162, 8, 54, 57, 80, 105, 115gsumres 18360 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))))
1176adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
118 ringmnd 18602 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
119117, 118syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
120 iftrue 4125 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
121120, 10, 87fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
12227, 121syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
123 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℂ)
124123subid1d 10419 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 − 0) = 𝑧)
125124adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
12638, 29, 40, 125caofid0r 6968 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})) = 𝑦)
127126fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0}))) = (𝑋𝑦))
128122, 127oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) = ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)))
12916ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
1302, 18, 9ringlidm 18617 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)) = (𝑋𝑦))
131117, 129, 130syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐷) → ( 1 (.r𝑅)(𝑋𝑦)) = (𝑋𝑦))
132128, 131eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) = (𝑋𝑦))
133132, 129eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅))
134 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑈𝑧) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
135 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑦𝑓𝑧) = (𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))
136135fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑋‘(𝑦𝑓𝑧)) = (𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0}))))
137134, 136oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐼 × {0}) → ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
1382, 137gsumsn 18400 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
139119, 27, 133, 138syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
14051, 116, 1393eqtr3d 2693 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔𝐷𝑔𝑟𝑦} ↦ ((𝑈𝑧)(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r𝑅)(𝑋‘(𝑦𝑓 − (𝐼 × {0})))))
14122, 140, 1323eqtrd 2689 . 2 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑋𝑦))
14215, 17, 141eqfnfvd 6354 1 (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ccnv 5142  cres 5145  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  0cc0 9974  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  CMndccmn 18239  1rcur 18547  Ringcrg 18593   mPwSer cmps 19399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-psr 19404
This theorem is referenced by:  psrring  19459  psr1  19460
  Copyright terms: Public domain W3C validator