MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrmulval 19155
Description: The multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrmulr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmulr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmulr.m · = (.r𝑅)
psrmulr.t = (.r𝑆)
psrmulr.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrmulfval.i (𝜑𝐹𝐵)
psrmulfval.r (𝜑𝐺𝐵)
psrmulval.r (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
psrmulval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑦,𝑘,𝐷   ,𝑘,𝑦,𝐼   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   · ,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,)   𝐵(𝑦,)   𝐷()   𝑅(𝑦,)   𝑆(𝑦,,𝑘)   (𝑦,,𝑘)   · (𝑦,)   𝐹(𝑦,)   𝐺(𝑦,)   𝑋()

Proof of Theorem psrmulval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrmulr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrmulr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 psrmulr.m . . . 4 · = (.r𝑅)
4 psrmulr.t . . . 4 = (.r𝑆)
5 psrmulr.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 psrmulfval.i . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 psrmulfval.r . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7psrmulfval 19154 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)))))))
98fveq1d 6089 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))‘𝑋))
10 psrmulval.r . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
11 breq2 4581 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦𝑟𝑥𝑦𝑟𝑋))
1211rabbidv 3163 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋})
13 oveq1 6533 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑓𝑘) = (𝑋𝑓𝑘))
1413fveq2d 6091 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)) = (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘)))
1514oveq2d 6542 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))) = ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))
1612, 15mpteq12dv 4657 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)))) = (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘)))))
1716oveq2d 6542 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
18 eqid 2609 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))
19 ovex 6554 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))) ∈ V
2017, 18, 19fvmpt 6175 . . 3 (𝑋𝐷 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
2110, 20syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑥} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑥𝑓𝑘))))))‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
229, 21eqtrd 2643 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑋} ↦ ((𝐹𝑘) · (𝐺‘(𝑋𝑓𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5026  cima 5030  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑓 cof 6770  𝑟 cofr 6771  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cle 9931  cmin 10117  cn 10869  0cn0 11141  Basecbs 15643  .rcmulr 15717   Σg cgsu 15872   mPwSer cmps 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-tset 15735  df-psr 19125
This theorem is referenced by:  psrlidm  19172  psrridm  19173  psrass1  19174  mplsubrglem  19208
  Copyright terms: Public domain W3C validator