MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrplusg 19581
Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrplusg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrplusg.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrplusg.a + = (+g𝑅)
psrplusg.p = (+g𝑆)
Assertion
Ref Expression
psrplusg = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))

Proof of Theorem psrplusg
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrplusg.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 psrplusg.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
4 eqid 2758 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 eqid 2758 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 eqid 2758 . . . . 5 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrplusg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 19578 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}))
10 eqid 2758 . . . . 5 ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))
11 eqid 2758 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥))))))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
12 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))
13 eqidd 2759 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)})))
14 simpr 479 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 8, 14psrval 19562 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1615fveq2d 6354 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g𝑆) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
17 psrplusg.p . . 3 = (+g𝑆)
18 fvex 6360 . . . . . 6 (Base‘𝑆) ∈ V
197, 18eqeltri 2833 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2019, 19xpex 7125 . . . 4 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
21 ofexg 7064 . . . 4 ((𝐵 × 𝐵) ∈ V → ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V)
22 psrvalstr 19563 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
23 plusgid 16177 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
24 snsstp2 4491 . . . . . 6 {⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩}
25 ssun1 3917 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2624, 25sstri 3751 . . . . 5 {⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2722, 23, 26strfv 16107 . . . 4 (( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) ∈ V → ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
2820, 21, 27mp2b 10 . . 3 ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (+g‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ 𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥)(.r𝑅)(𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑓𝐵 ↦ (({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑥}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘({ ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
2916, 17, 283eqtr4g 2817 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
30 reldmpsr 19561 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
3130ovprc 6844 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
321, 31syl5eq 2804 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3332fveq2d 6354 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g𝑆) = (+g‘∅))
3423str0 16111 . . . 4 ∅ = (+g‘∅)
3533, 17, 343eqtr4g 2817 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ∅)
3632fveq2d 6354 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
37 base0 16112 . . . . . . . 8 ∅ = (Base‘∅)
3836, 7, 373eqtr4g 2817 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
3938xpeq2d 5294 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
40 xp0 5708 . . . . . 6 (𝐵 × ∅) = ∅
4139, 40syl6eq 2808 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
4241reseq2d 5549 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ( ∘𝑓 + ↾ ∅))
43 res0 5553 . . . 4 ( ∘𝑓 + ↾ ∅) = ∅
4442, 43syl6eq 2808 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)) = ∅)
4535, 44eqtr4d 2795 . 2 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵)))
4629, 45pm2.61i 176 1 = ( ∘𝑓 + ↾ (𝐵 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  {crab 3052  Vcvv 3338  cun 3711  c0 4056  {csn 4319  {ctp 4323  cop 4325   class class class wbr 4802  cmpt 4879   × cxp 5262  ccnv 5263  cres 5266  cima 5267  cfv 6047  (class class class)co 6811  cmpt2 6813  𝑓 cof 7058  𝑟 cofr 7059  𝑚 cmap 8021  Fincfn 8119  1c1 10127  cle 10265  cmin 10456  cn 11210  9c9 11267  0cn0 11482  ndxcnx 16054  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  .rcmulr 16142  Scalarcsca 16144   ·𝑠 cvsca 16145  TopSetcts 16147  TopOpenctopn 16282  tcpt 16299   Σg cgsu 16301   mPwSer cmps 19551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-tset 16160  df-psr 19556
This theorem is referenced by:  psradd  19582  psrmulr  19584  psrsca  19589  psrvscafval  19590  psrplusgpropd  19806  ply1plusgfvi  19812
  Copyright terms: Public domain W3C validator