Theorem psrridm 20186

Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrlidm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrridm	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrridm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrlidm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrlidm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		psrring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		psr1cl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		psr1cl.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
11		psr1cl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
12	1, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4	psr1cl 20184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5, 6, 7, 12	psrmulcl 20170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 20161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6517	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) Fn 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 7	psrelbas 20161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6517	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
18		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈 ∈ 𝐵)
21		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
22	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21	psrmulval 20168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
23		breq1 5071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑦 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑦 ↔ 𝑦 ∘r ≤ 𝑦))
24	8	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
25	3	psrbagf 20147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
26	8, 25	sylan 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
27		nn0re 11909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℝ)
28	27	leidd 11208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ≤ 𝑧)
29	28	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → 𝑧 ≤ 𝑧)
30	24, 26, 29	caofref 7437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∘r ≤ 𝑦)
31	23, 21, 30	elrabd 3684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
32	31	snssd 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
33	32	resmptd 5910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {𝑦}) = (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))))
34	33	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
35		ringcmn 19333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
36	6, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
37	36	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
38		ovex 7191	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
39	3, 38	rab2ex 5240	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∈ V
40	39	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∈ V)
41	6	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
42	16	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
43		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
44		breq1 5071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑧 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
45	44	elrab 3682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
46	43, 45	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
47	46	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐷)
48	42, 47	ffvelrnd 6854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
49	1, 2, 3, 4, 20	psrelbas 20161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
50	49	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
51	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝐼 ∈ 𝑉)
52	21	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝐷)
53	3	psrbagf 20147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
54	51, 47, 53	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
55	46	simprd 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∘r ≤ 𝑦)
56	3	psrbagcon 20153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦)) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f − 𝑧) ∘r ≤ 𝑦))
57	51, 52, 54, 55, 56	syl13anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f − 𝑧) ∘r ≤ 𝑦))
58	57	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
59	50, 58	ffvelrnd 6854	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 18	ringcl 19313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
61	41, 48, 59, 60	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
62	61	fmpttd 6881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}⟶(Base‘𝑅))
63		eldifi 4105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
64	63, 58	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
65		eqeq1 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘f − 𝑧) → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0})))
66	65	ifbid 4491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∘f − 𝑧) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
67	10	fvexi 6686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
68	9	fvexi 6686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
69	67, 68	ifex 4517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
70	66, 11, 69	fvmpt 6770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
71	64, 70	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
72		eldifsni 4724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
73	72	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
74	73	necomd 3073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 𝑧)
75		nn0sscn 11905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
76		fss 6529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
77	26, 75, 76	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
78	77	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑦:𝐼⟶ℂ)
79		fss 6529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
80	54, 75, 79	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℂ)
81		ofsubeq0 11637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑧:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
82	51, 78, 80, 81	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
83	63, 82	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑧))
84	83	necon3bbid 3055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (¬ (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
85	74, 84	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ¬ (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}))
86	85	iffalsed 4480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → if((𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
87	71, 86	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = 0 )
88	87	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ))
89	2, 18, 9	ringrz 19340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
90	41, 48, 89	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
91	63, 90	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
92	88, 91	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {𝑦})) → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = 0 )
93	92, 40	suppss2 7866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})
94	40	mptexd 6989	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V)
95		funmpt 6395	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))
96	95	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))))
97	68	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
98		snfi 8596	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
99	98	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑦} ∈ Fin)
100		suppssfifsupp 8850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑦} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {𝑦})) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) finSupp 0 )
101	94, 96, 97, 99, 93, 100	syl32anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) finSupp 0 )
102	2, 9, 37, 40, 62, 93, 101	gsumres 19035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {𝑦})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
103	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
104		ringmnd 19308	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
105	103, 104	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
106		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 = 𝑦
107		ofsubeq0 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ ∧ 𝑦:𝐼⟶ℂ) → ((𝑦 ∘f − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
108	24, 77, 77, 107	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑦 ∘f − 𝑦) = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑦 = 𝑦))
109	106, 108	mpbiri 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∘f − 𝑦) = (𝐼 × {0}))
110	109	fveq2d 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦)) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
111		fconstmpt 5616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0)
112	3	fczpsrbag 20149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
113	8, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
114	111, 113	eqeltrid 2919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
115	114	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
116		iftrue 4475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
117	116, 11, 67	fvmpt 6770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
118	115, 117	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
119	110, 118	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦)) = 1 )
120	119	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ))
121	16	ffvelrnda 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
122	2, 18, 10	ringridm 19324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
123	103, 121, 122	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋‘𝑦))
124	120, 123	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) = (𝑋‘𝑦))
125	124, 121	eqeltrd 2915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅))
126		fveq2 6672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑋‘𝑧) = (𝑋‘𝑦))
127		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝑦 ∘f − 𝑦))
128	127	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = (𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦)))
129	126, 128	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
130	2, 129	gsumsn 19076	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
131	105, 21, 125, 130	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
132	34, 102, 131	3eqtr3d 2866	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑋‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑋‘𝑦)(.r‘𝑅)(𝑈‘(𝑦 ∘f − 𝑦))))
133	22, 132, 124	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑋 · 𝑈)‘𝑦) = (𝑋‘𝑦))
134	15, 17, 133	eqfnfvd 6807	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑈) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  {crab 3144  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  ^◡ccnv 5556   ↾ cres 5559   “ cima 5560  Fun wfun 6351  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409   ∘_r cofr 7410   supp csupp 7832   ↑_m cmap 8408  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835  ℂcc 10537  0cc0 10539   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  Mndcmnd 17913  CMndccmn 18908  1_rcur 19253  Ringcrg 19299   mPwSer cmps 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-psr 20138

This theorem is referenced by:  psrring  20193  psr1  20194