MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvalstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvalstr 19291
Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
psrvalstr ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩

Proof of Theorem psrvalstr
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
21rngstr 15928 . 2 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
3 5nn 11139 . . 3 5 ∈ ℕ
4 scandx 15941 . . 3 (Scalar‘ndx) = 5
5 5lt6 11155 . . 3 5 < 6
6 6nn 11140 . . 3 6 ∈ ℕ
7 vscandx 15943 . . 3 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
8 6lt9 11175 . . 3 6 < 9
9 9nn 11143 . . 3 9 ∈ ℕ
10 tsetndx 15968 . . 3 (TopSet‘ndx) = 9
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10strle3 15903 . 2 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩
12 3lt5 11152 . 2 3 < 5
132, 11, 12strleun 15900 1 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  cun 3557  {ctp 4157  cop 4159   class class class wbr 4618  cfv 5852  1c1 9888  3c3 11022  5c5 11024  6c6 11025  9c9 11028   Struct cstr 15784  ndxcnx 15785  Basecbs 15788  +gcplusg 15869  .rcmulr 15870  Scalarcsca 15872   ·𝑠 cvsca 15873  TopSetcts 15875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-tset 15888
This theorem is referenced by:  psrbas  19306  psrplusg  19309  psrmulr  19312  psrsca  19317  psrvscafval  19318
  Copyright terms: Public domain W3C validator