Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscacl 19595
 Description: Closure of the power series scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvscacl.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvscacl.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrvscacl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvscacl.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvscacl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrvscacl.x (𝜑𝑋𝐾)
psrvscacl.y (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrvscacl (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psrvscacl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvscacl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 psrvscacl.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2760 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
42, 3ringcl 18761 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
543expb 1114 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
61, 5sylan 489 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐾)
7 psrvscacl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
8 fconst6g 6255 . . . . 5 (𝑋𝐾 → ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
10 psrvscacl.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
11 eqid 2760 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
12 psrvscacl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
13 psrvscacl.y . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
1410, 2, 11, 12, 13psrelbas 19581 . . . 4 (𝜑𝐹:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
15 ovex 6841 . . . . . 6 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
1615rabex 4964 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
18 inidm 3965 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
196, 9, 14, 17, 17, 18off 7077 . . 3 (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
20 fvex 6362 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
212, 20eqeltri 2835 . . . 4 𝐾 ∈ V
2221, 16elmap 8052 . . 3 ((({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝐹) ∈ (𝐾𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝐹):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
2319, 22sylibr 224 . 2 (𝜑 → (({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝐹) ∈ (𝐾𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24 psrvscacl.n . . 3 · = ( ·𝑠𝑆)
2510, 24, 2, 12, 3, 11, 7, 13psrvsca 19593 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) = (({𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)𝐹))
26 reldmpsr 19563 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2726, 10, 12elbasov 16123 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2813, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2928simpld 477 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
3010, 2, 11, 12, 29psrbas 19580 . 2 (𝜑𝐵 = (𝐾𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
3123, 25, 303eltr4d 2854 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  {csn 4321   × cxp 5264  ◡ccnv 5265   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  Basecbs 16059  .rcmulr 16144   ·𝑠 cvsca 16147  Ringcrg 18747   mPwSer cmps 19553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mgp 18690  df-ring 18749  df-psr 19558 This theorem is referenced by:  psrlmod  19603  psrass23l  19610  psrass23  19612  mpllsslem  19637
 Copyright terms: Public domain W3C validator