MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvscafval 19153
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n = ( ·𝑠𝑆)
psrvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m · = (.r𝑅)
psrvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrvscafval = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐵   𝑓,,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   · ,𝑓,𝑥   ,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵()   𝐷()   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑓,)   ()   · ()   𝐾()

Proof of Theorem psrvscafval
Dummy variables 𝑔 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrvsca.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 eqid 2605 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 psrvsca.m . . . . 5 · = (.r𝑅)
5 eqid 2605 . . . . 5 (TopOpen‘𝑅) = (TopOpen‘𝑅)
6 psrvsca.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrvsca.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 simpl 471 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
91, 2, 6, 7, 8psrbas 19141 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = (𝐾𝑚 𝐷))
10 eqid 2605 . . . . . 6 (+g𝑆) = (+g𝑆)
111, 7, 3, 10psrplusg 19144 . . . . 5 (+g𝑆) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
12 eqid 2605 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
131, 7, 4, 12, 6psrmulr 19147 . . . . 5 (.r𝑆) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
14 eqid 2605 . . . . 5 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
15 eqidd 2606 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})) = (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)})))
16 simpr 475 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 8, 16psrval 19125 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
1817fveq2d 6088 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
19 psrvsca.n . . 3 = ( ·𝑠𝑆)
20 fvex 6094 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
212, 20eqeltri 2679 . . . . 5 𝐾 ∈ V
22 fvex 6094 . . . . . 6 (Base‘𝑆) ∈ V
237, 22eqeltri 2679 . . . . 5 𝐵 ∈ V
2421, 23mpt2ex 7109 . . . 4 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V
25 psrvalstr 19126 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}) Struct ⟨1, 9⟩
26 vscaid 15781 . . . . 5 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
27 snsstp2 4283 . . . . . 6 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩} ⊆ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}
28 ssun2 3734 . . . . . 6 {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
2927, 28sstri 3572 . . . . 5 {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})
3025, 26, 29strfv 15677 . . . 4 ((𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) ∈ V → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩})))
3124, 30ax-mp 5 . . 3 (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (+g𝑆)⟩, ⟨(.r‘ndx), (.r𝑆)⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐷 × {(TopOpen‘𝑅)}))⟩}))
3218, 19, 313eqtr4g 2664 . 2 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)))
33 eqid 2605 . . . . . 6 ∅ = ∅
34 fn0 5906 . . . . . 6 (∅ Fn ∅ ↔ ∅ = ∅)
3533, 34mpbir 219 . . . . 5 ∅ Fn ∅
36 reldmpsr 19124 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
3736ovprc 6555 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
381, 37syl5eq 2651 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑆 = ∅)
3938fveq2d 6088 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘∅))
40 df-vsca 15727 . . . . . . . 8 ·𝑠 = Slot 6
4140str0 15681 . . . . . . 7 ∅ = ( ·𝑠 ‘∅)
4239, 19, 413eqtr4g 2664 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = ∅)
4336, 1, 7elbasov 15691 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
4443con3i 148 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ¬ 𝑓𝐵)
4544eq0rdv 3926 . . . . . . . 8 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
4645xpeq2d 5049 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = (𝐾 × ∅))
47 xp0 5453 . . . . . . 7 (𝐾 × ∅) = ∅
4846, 47syl6eq 2655 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 × 𝐵) = ∅)
4942, 48fneq12d 5879 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ ∅ Fn ∅))
5035, 49mpbiri 246 . . . 4 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → Fn (𝐾 × 𝐵))
51 fnov 6640 . . . 4 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5250, 51sylib 206 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5344pm2.21d 116 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓)))
5453a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾 → (𝑓𝐵 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓))))
55543imp 1248 . . . 4 ((¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ 𝑥𝐾𝑓𝐵) → ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓) = (𝑥 𝑓))
5655mpt2eq3dva 6591 . . 3 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)) = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ (𝑥 𝑓)))
5752, 56eqtr4d 2642 . 2 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓)))
5832, 57pm2.61i 174 1 = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘𝑓 · 𝑓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2895  Vcvv 3168  cun 3533  c0 3869  {csn 4120  {ctp 4124  cop 4126   × cxp 5022  ccnv 5023  cima 5027   Fn wfn 5781  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525  𝑓 cof 6766  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814  1c1 9789  cn 10863  6c6 10917  9c9 10920  0cn0 11135  ndxcnx 15634  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  Scalarcsca 15713   ·𝑠 cvsca 15714  TopSetcts 15716  TopOpenctopn 15847  tcpt 15864   mPwSer cmps 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-tset 15729  df-psr 19119
This theorem is referenced by:  psrvsca  19154
  Copyright terms: Public domain W3C validator