Theorem psseq2 4068

Description: Equality theorem for proper subclass. (Contributed by NM, 7-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
psseq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))

Proof of Theorem psseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3996	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
2		neeq2 3082	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵))
3	1, 2	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵)))
4		df-pss 3957	. 2 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
5		df-pss 3957	. 2 ⊢ (𝐶 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ⊊ 𝐴 ↔ 𝐶 ⊊ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ≠ wne 3019   ⊆ wss 3939   ⊊ wpss 3940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-ne 3020  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957

This theorem is referenced by:  psseq2i  4070  psseq2d  4073  psssstr  4086  brrpssg  7454  sorpssint  7462  php  8704  php2  8705  pssnn  8739  isfin4  9722  fin2i2  9743  elnp  10412  elnpi  10413  ltprord  10455  pgpfac1lem1  19199  pgpfac1lem5  19204  lbsextlem4  19936  alexsubALTlem4  22661  spansncv  29433  cvbr  30062  cvcon3  30064  cvnbtwn  30066  cvbr4i  30147  ssmxidl  30983  dfon2lem6  33037  dfon2lem7  33038  dfon2lem8  33039  dfon2  33041  lcvbr  36161  lcvnbtwn  36165  lsatcv0  36171  lsat0cv  36173  islshpcv  36193  mapdcv  38800  pssn0  39119