Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcldmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcldmpt 21322
 Description: A closed box in the product topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ptcldmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
ptcldmpt.j ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
ptcldmpt.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
ptcldmpt (𝜑X𝑘𝐴 𝐶 ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑘𝐴𝐽))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem ptcldmpt
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2767 . . 3 𝑙𝐶
2 nfcsb1v 3535 . . 3 𝑘𝑙 / 𝑘𝐶
3 csbeq1a 3528 . . 3 (𝑘 = 𝑙𝐶 = 𝑙 / 𝑘𝐶)
41, 2, 3cbvixp 7870 . 2 X𝑘𝐴 𝐶 = X𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐶
5 ptcldmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 ptcldmpt.j . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
7 eqid 2626 . . . 4 (𝑘𝐴𝐽) = (𝑘𝐴𝐽)
86, 7fmptd 6341 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐽):𝐴⟶Top)
9 nfv 1845 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑙𝐴)
10 nfcv 2767 . . . . . . 7 𝑘Clsd
11 nffvmpt1 6158 . . . . . . 7 𝑘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙)
1210, 11nffv 6157 . . . . . 6 𝑘(Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙))
132, 12nfel 2779 . . . . 5 𝑘𝑙 / 𝑘𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙))
149, 13nfim 1827 . . . 4 𝑘((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙)))
15 eleq1 2692 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘𝐴𝑙𝐴))
1615anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑙𝐴)))
17 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘) = ((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙))
1817fveq2d 6154 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘)) = (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙)))
193, 18eleq12d 2698 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙 → (𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘)) ↔ 𝑙 / 𝑘𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙))))
2016, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑙 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘))) ↔ ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙)))))
21 ptcldmpt.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
22 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
237fvmpt2 6249 . . . . . . 7 ((𝑘𝐴𝐽 ∈ Top) → ((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘) = 𝐽)
2422, 6, 23syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘) = 𝐽)
2524fveq2d 6154 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘)) = (Clsd‘𝐽))
2621, 25eleqtrrd 2707 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑘)))
2714, 20, 26chvar 2266 . . 3 ((𝜑𝑙𝐴) → 𝑙 / 𝑘𝐶 ∈ (Clsd‘((𝑘𝐴𝐽)‘𝑙)))
285, 8, 27ptcld 21321 . 2 (𝜑X𝑙𝐴 𝑙 / 𝑘𝐶 ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑘𝐴𝐽))))
294, 28syl5eqel 2708 1 (𝜑X𝑘𝐴 𝐶 ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑘𝐴𝐽))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ⦋csb 3519   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5850  Xcixp 7853  ∏tcpt 16015  Topctop 20612  Clsdccld 20725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-ixp 7854  df-en 7901  df-fin 7904  df-fi 8262  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-top 20616  df-bases 20617  df-cld 20728 This theorem is referenced by:  ptclsg  21323  kelac1  37099
 Copyright terms: Public domain W3C validator