Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ptcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ptcmp 21856
 Description: Tychonoff's theorem: The product of compact spaces is compact. The proof uses the Axiom of Choice. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ptcmp ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)

Proof of Theorem ptcmp
StepHypRef Expression
1 fvex 6199 . . . . 5 (∏t𝐹) ∈ V
21uniex 6950 . . . 4 (∏t𝐹) ∈ V
3 axac3 9283 . . . . 5 CHOICE
4 acufl 21715 . . . . 5 (CHOICE → UFL = V)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 UFL = V
62, 5eleqtrri 2699 . . 3 (∏t𝐹) ∈ UFL
7 cardeqv 9288 . . . 4 dom card = V
82, 7eleqtrri 2699 . . 3 (∏t𝐹) ∈ dom card
9 elin 3794 . . 3 ( (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card) ↔ ( (∏t𝐹) ∈ UFL ∧ (∏t𝐹) ∈ dom card))
106, 8, 9mpbir2an 955 . 2 (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)
11 eqid 2621 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
12 eqid 2621 . . 3 (∏t𝐹) = (∏t𝐹)
1311, 12ptcmpg 21855 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp ∧ (∏t𝐹) ∈ (UFL ∩ dom card)) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
1410, 13mp3an3 1412 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶Comp) → (∏t𝐹) ∈ Comp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  Vcvv 3198   ∩ cin 3571  ∪ cuni 4434  dom cdm 5112  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  cardccrd 8758  CHOICEwac 8935  ∏tcpt 16093  Compccmp 21183  UFLcufl 21698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-ac2 9282 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-rpss 6934  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-omul 7562  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fi 8314  df-wdom 8461  df-card 8762  df-acn 8765  df-ac 8936  df-cda 8987  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-fbas 19737  df-fg 19738  df-top 20693  df-topon 20710  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-nei 20896  df-cmp 21184  df-fil 21644  df-ufil 21699  df-ufl 21700  df-flim 21737  df-fcls 21739 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator