Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdadjvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdadjvtx 40931
Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdadjvtx ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx
StepHypRef Expression
1 elfzo0l 40185 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))))
2 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
3 pthis1wlk 40928 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
4 1wlkcl 40815 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 1zzd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6 nn0z 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
76adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ ℤ)
8 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 < (#‘𝐹))
9 fzolb 12300 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (#‘𝐹)))
105, 7, 8, 9syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
11 0elfz 12260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
1211adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(#‘𝐹)))
13 ax-1ne0 9861 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
1510, 12, 143jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
1615ex 448 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
173, 4, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (1 < (#‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
1817impcom 444 . . . . . . . . 9 ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19 pthdivtx 40930 . . . . . . . . 9 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
202, 18, 19syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
2120necomd 2836 . . . . . . 7 ((1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22213adant1 1071 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 → (𝑃𝐼) = (𝑃‘0))
24 oveq1 6534 . . . . . . . . . 10 (𝐼 = 0 → (𝐼 + 1) = (0 + 1))
25 0p1e1 10979 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
2624, 25syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 (𝐼 = 0 → (𝐼 + 1) = 1)
2726fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
2823, 27neeq12d 2842 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 → ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
29283ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
3022, 29mpbird 245 . . . . 5 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
31303exp 1255 . . . 4 (𝐼 = 0 → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
32 simp3 1055 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
33 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
34 fzo0ss1 12322 . . . . . . . . . 10 (1..^(#‘𝐹)) ⊆ (0..^(#‘𝐹))
3534sseli 3563 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
36 fzofzp1 12386 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)))
38 elfzoelz 12294 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3938zcnd 11315 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
40 1cnd 9912 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
4113a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
4239, 40, 413jca 1234 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
43 addn0nid 10302 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
4443necomd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
4633, 37, 453jca 1234 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
47463ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
48 pthdivtx 40930 . . . . . 6 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
4932, 47, 48syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
50493exp 1255 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
5131, 50jaoi 392 . . 3 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(#‘𝐹))) → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
521, 51syl 17 . 2 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (1 < (#‘𝐹) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
53523imp31 1249 1 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (#‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  0cn0 11139  cz 11210  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  #chash 12934  1Walksc1wlks 40791  PathScpths 40914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-1wlks 40795  df-trls 40896  df-pths 40918
This theorem is referenced by:  2pthnloop  40932  upgr3v3e3cycl  41342  upgr4cycl4dv4e  41347
  Copyright terms: Public domain W3C validator