Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdepissPth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdepissPth 40933
Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdepissPth ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthdepissPth
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pthsfval 40919 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → (PathS‘𝐺) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥(TrailS‘𝐺)𝑦 ∧ Fun (𝑦 ↾ (1..^(#‘𝑥))) ∧ ((𝑦 “ {0, (#‘𝑥)}) ∩ (𝑦 “ (1..^(#‘𝑥)))) = ∅)})
21brfvopab 6576 . . . 4 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3 isPth 40921 . . . . 5 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
4 simplll 794 . . . . . . 7 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
5 trlis1wlk 40897 . . . . . . . . . 10 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
6 1wlkcl 40812 . . . . . . . . . 10 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
87ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1091wlkp 40813 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
115, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
1211ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
13 simpllr 795 . . . . . . . . 9 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
14 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
1512, 13, 143jca 1235 . . . . . . . 8 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
16 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
18 injresinj 12409 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → Fun 𝑃)))
198, 15, 17, 18syl3c 64 . . . . . . 7 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun 𝑃)
204, 19jca 553 . . . . . 6 ((((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2120ex3 1255 . . . . 5 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
223, 21syl6bi 242 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))))
232, 22mpcom 37 . . 3 (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2423imp 444 . 2 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
252adantr 480 . . 3 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
26 issPth 40922 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2725, 26syl 17 . 2 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2824, 27mpbird 246 1 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  cin 3539  c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4578  ccnv 5027  cres 5030  cima 5031  Fun wfun 5784  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9793  1c1 9794  0cn0 11142  ...cfz 12155  ..^cfzo 12292  #chash 12937  Vtxcvtx 40221  1Walksc1wlks 40788  TrailSctrls 40891  PathScpths 40911  SPathScspths 40912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-1wlks 40792  df-trls 40893  df-pths 40915  df-spths 40916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator