Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdepisspth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdepisspth 26513
 Description: A path with different start and end points is a simple path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by AV, 12-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdepisspth ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthdepisspth
StepHypRef Expression
1 ispth 26501 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
2 simplll 797 . . . . . 6 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
3 trliswlk 26476 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkcl 26394 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
65ad3antrrr 765 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
87wlkp 26395 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
93, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
109ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
11 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
12 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
1310, 11, 123jca 1240 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
14 simplr 791 . . . . . . 7 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
15 injresinj 12536 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅ → Fun 𝑃)))
166, 13, 14, 15syl3c 66 . . . . . 6 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → Fun 𝑃)
172, 16jca 554 . . . . 5 ((((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹)))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
1817ex3 1260 . . . 4 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
191, 18sylbi 207 . . 3 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
2019imp 445 . 2 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
21 isspth 26502 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2220, 21sylibr 224 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∩ cin 3558  ∅c0 3896  {cpr 4155   class class class wbr 4618  ◡ccnv 5078   ↾ cres 5081   “ cima 5082  Fun wfun 5846  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888  ℕ0cn0 11243  ...cfz 12275  ..^cfzo 12413  #chash 13064  Vtxcvtx 25787  Walkscwlks 26375  Trailsctrls 26469  Pathscpths 26490  SPathscspths 26491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-hash 13065  df-word 13245  df-wlks 26378  df-trls 26471  df-pths 26494  df-spths 26495 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator