MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem1 26718
Description: Lemma 1 for pthd 26721. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 13342 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
4 fzo0ss1 12537 . . . . . . . . 9 (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5 pthd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 = ((#‘𝑃) − 1))
76oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
84, 7syl5sseq 3686 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
9 lencl 13356 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
10 nn0z 11438 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
12 fzossrbm1 12536 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
148, 13sstrd 3646 . . . . . . 7 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
153, 14fssresd 6109 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
191, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
2120ltm1d 10994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
22 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
23 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℝ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
2622, 24, 20, 25mp3an2i 1469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
27 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
2927, 20, 28syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3026, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3121, 30mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3231imdistani 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
33 elnnnn0c 11376 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
3432, 33sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
3519, 34sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
36 fzo0sn0fzo1 12597 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
38 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
40 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
4139, 40eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
4310adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
44 ltaddsub 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) ↔ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
4544bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
4622, 27, 20, 45mp3an2i 1469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
47 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
4839, 47eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
49 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5048, 20, 49sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5146, 50sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
53 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5442, 43, 52, 53syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5519, 54sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
56 fzosplitsnm1 12582 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5738, 55, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5857uneq2d 3800 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
5937, 58eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
6059raleqdv 3174 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
61 ralunb 3827 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
62 ralunb 3827 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
6362anbi2i 730 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6461, 63bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6560, 64syl6bb 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))))
665eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) − 1) = 𝑅
6766oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (1..^((#‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
6867raleqi 3172 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
69 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
7069eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃𝑗))
7473eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7672, 75neeq12d 2884 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7776biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7877imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
7978ralimdva 2991 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8079ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8168, 80syl5bi 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8281adantrd 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8382adantld 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8465, 83sylbid 230 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8518, 84mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86 dff14a 6567 . . . . 5 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8716, 85, 86sylanbrc 699 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88 df-f1 5931 . . . 4 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
8987, 88sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
9089simprd 478 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91 funcnv0 5993 . . 3 Fun
9219nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
93 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9594zred 11520 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9795, 96lenltd 10221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
9897biimpar 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ 1)
995, 98syl5eqbr 4720 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100 1zzd 11446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1015, 94syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
102100, 101jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103102adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104 fzon 12528 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105104bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106103, 105syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
10799, 106mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108107reseq2d 5428 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109 res0 5432 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110108, 109syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111110cnveqd 5330 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
112111funeqd 5948 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ∅))
11391, 112mpbiri 248 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
11490, 113pm2.61dan 849 1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cres 5145  Fun wfun 5920  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331
This theorem is referenced by:  pthd  26721
  Copyright terms: Public domain W3C validator