Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem1 40953
Description: Lemma 1 for pthd 40956. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 13113 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
4 fzo0ss1 12324 . . . . . . . . 9 (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5 pthd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 = ((#‘𝑃) − 1))
76oveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
84, 7syl5sseq 3615 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
9 lencl 13127 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
10 nn0z 11235 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
12 fzossrbm1 12323 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
148, 13sstrd 3577 . . . . . . 7 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
153, 14fssresd 5968 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
1817adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
191, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0re 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
2120ltm1d 10807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
22 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
23 peano2rem 10199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑃) ∈ ℝ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25 lttr 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
2622, 24, 20, 25mp3an2i 1420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
27 1red 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
2927, 20, 28syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3026, 29syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3121, 30mpan2d 705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
3231imdistani 721 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
33 elnnnn0c 11187 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
3432, 33sylibr 222 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
3519, 34sylan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
36 fzo0sn0fzo1 12381 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
38 1zzd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39 1p1e2 10983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
40 2z 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
4139, 40eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
4310adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
44 ltaddsub 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) ↔ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
4544bicomd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
4622, 27, 20, 45mp3an2i 1420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
47 2re 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
4839, 47eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
49 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5048, 20, 49sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5146, 50sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5251imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
53 eluz2 11527 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
5442, 43, 52, 53syl3anbrc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5519, 54sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
56 fzosplitsnm1 12366 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5738, 55, 56syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
5857uneq2d 3728 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
5937, 58eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
6059raleqdv 3120 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
61 ralunb 3755 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
62 ralunb 3755 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
6362anbi2i 725 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6461, 63bitri 262 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6560, 64syl6bb 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))))
665eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑃) − 1) = 𝑅
6766oveq2i 6537 . . . . . . . . . . 11 (1..^((#‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
6867raleqi 3118 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
69 fvres 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
7069eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73 fvres 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃𝑗))
7473eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7672, 75neeq12d 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7776biimpd 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7877imim2d 54 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
7978ralimdva 2944 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8079ralimdva 2944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8168, 80syl5bi 230 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8281adantrd 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8382adantld 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8465, 83sylbid 228 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8518, 84mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86 dff14a 6404 . . . . 5 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8716, 85, 86sylanbrc 694 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88 df-f1 5794 . . . 4 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
8987, 88sylib 206 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
9089simprd 477 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91 funcnv0 5854 . . 3 Fun
9219nn0zd 11314 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
93 peano2zm 11255 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9594zred 11316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96 1red 9911 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9795, 96lenltd 10034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
9897biimpar 500 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ 1)
995, 98syl5eqbr 4612 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100 1zzd 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1015, 94syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
102100, 101jca 552 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103102adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104 fzon 12315 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105104bicomd 211 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106103, 105syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
10799, 106mpbird 245 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108107reseq2d 5303 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109 res0 5307 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110108, 109syl6eq 2659 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111110cnveqd 5207 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
112111funeqd 5810 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ∅))
11391, 112mpbiri 246 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
11490, 113pm2.61dan 827 1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  Vcvv 3172  cun 3537  wss 3539  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  ccnv 5026  cres 5029  Fun wfun 5783  wf 5785  1-1wf1 5786  cfv 5789  (class class class)co 6526  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10869  2c2 10919  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  ..^cfzo 12291  #chash 12936  Word cword 13094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102
This theorem is referenced by:  pthd  40956
  Copyright terms: Public domain W3C validator