Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 40955
Description: Lemma 2 for pthd 40956. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 13127 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 2781 . . . . 5 ((#‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 11155 . . . . . 6 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 652 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ≠ 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5syl5bir 231 . . . 4 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2609 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 403 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 40954 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1404 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2609 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 404 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 40954 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1404 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 13129 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 6537 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((#‘𝑃) − 1))
2221feq2i 5935 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 11183 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24syl5eqel 2691 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 12406 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 958 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 448 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 45 . 2 (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 6533 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32syl5eq 2655 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 6542 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 10960 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 10983 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 4604 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 9895 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 10439 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 219 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 11242 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 11223 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 11255 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 12315 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 703 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 218 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48syl6eq 2659 . . . . . 6 ((#‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 5371 . . . . 5 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 5386 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51syl6eq 2659 . . . 4 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 3775 . . 3 ((#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 3919 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54syl6eq 2659 . 2 ((#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 170 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wnel 2780  wral 2895  Vcvv 3172  cin 3538  c0 3873  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cima 5030  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cle 9931  cmin 10117  cn 10869  2c2 10919  0cn0 11141  cz 11212  ...cfz 12154  ..^cfzo 12291  #chash 12936  Word cword 13094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-hash 12937  df-word 13102
This theorem is referenced by:  pthd  40956
  Copyright terms: Public domain W3C validator