MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2 26720
Description: Lemma 2 for pthd 26721. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.) (Revised by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 lencl 13356 . . . 4 (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
3 df-ne 2824 . . . . 5 ((#‘𝑃) ≠ 0 ↔ ¬ (#‘𝑃) = 0)
4 elnnne0 11344 . . . . . 6 ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0))
54simplbi2 654 . . . . 5 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) ≠ 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
63, 5syl5bir 233 . . . 4 ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
71, 2, 63syl 18 . . 3 (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → (#‘𝑃) ∈ ℕ))
8 eqid 2651 . . . . . . 7 0 = 0
98orci 404 . . . . . 6 (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)
10 pthd.r . . . . . . 7 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
11 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
121, 10, 11pthdlem2lem 26719 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (0 = 0 ∨ 0 = 𝑅)) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
139, 12mp3an3 1453 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
14 eqid 2651 . . . . . . 7 𝑅 = 𝑅
1514olci 405 . . . . . 6 (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)
161, 10, 11pthdlem2lem 26719 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 = 𝑅)) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
1715, 16mp3an3 1453 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
18 wrdffz 13358 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2110oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (0...𝑅) = (0...((#‘𝑃) − 1))
2221feq2i 6075 . . . . . . 7 (𝑃:(0...𝑅)⟶V ↔ 𝑃:(0...((#‘𝑃) − 1))⟶V)
2320, 22sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑃:(0...𝑅)⟶V)
24 nnm1nn0 11372 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℕ0)
2510, 24syl5eqel 2734 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ0)
27 fvinim0ffz 12627 . . . . . 6 ((𝑃:(0...𝑅)⟶V ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2823, 26, 27syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → (((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅ ↔ ((𝑃‘0) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ∧ (𝑃𝑅) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))))
2913, 17, 28mpbir2and 977 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ) → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
3029ex 449 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
317, 30syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ (#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅))
32 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) − 1) = (0 − 1))
3310, 32syl5eq 2697 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 0 → 𝑅 = (0 − 1))
3433oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = (1..^(0 − 1)))
35 0le2 11149 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
36 1p1e2 11172 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
3735, 36breqtrri 4712 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 + 1)
38 0re 10078 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
39 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
4038, 39, 39lesubadd2i 10626 . . . . . . . . 9 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ 0 ≤ (1 + 1))
4137, 40mpbir 221 . . . . . . . 8 (0 − 1) ≤ 1
42 1z 11445 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
43 0z 11426 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
44 peano2zm 11458 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0 − 1) ∈ ℤ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0 − 1) ∈ ℤ
46 fzon 12528 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (0 − 1) ∈ ℤ) → ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅))
4742, 45, 46mp2an 708 . . . . . . . 8 ((0 − 1) ≤ 1 ↔ (1..^(0 − 1)) = ∅)
4841, 47mpbi 220 . . . . . . 7 (1..^(0 − 1)) = ∅
4934, 48syl6eq 2701 . . . . . 6 ((#‘𝑃) = 0 → (1..^𝑅) = ∅)
5049imaeq2d 5501 . . . . 5 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = (𝑃 “ ∅))
51 ima0 5516 . . . . 5 (𝑃 “ ∅) = ∅
5250, 51syl6eq 2701 . . . 4 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 “ (1..^𝑅)) = ∅)
5352ineq2d 3847 . . 3 ((#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅))
54 in0 4001 . . 3 ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ ∅) = ∅
5553, 54syl6eq 2701 . 2 ((#‘𝑃) = 0 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
5631, 55pm2.61d2 172 1 (𝜑 → ((𝑃 “ {0, 𝑅}) ∩ (𝑃 “ (1..^𝑅))) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331
This theorem is referenced by:  pthd  26721
  Copyright terms: Public domain W3C validator