Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem2lem 26566
 Description: Lemma for pthdlem2 26567. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem2lem ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗

Proof of Theorem pthdlem2lem
StepHypRef Expression
1 pthd.s . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
213ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
3 ralcom 3092 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
4 elfzo1 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) ↔ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅))
5 nnne0 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ≠ 0)
65necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → 0 ≠ 𝑗)
763ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
84, 7sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 0 ≠ 𝑗)
98adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 0 ≠ 𝑗)
10 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼𝑗 ↔ 0 ≠ 𝑗))
119, 10syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
1211expd 452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
13 nnre 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ)
15 nnre 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
1714, 16ltlend 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅 ↔ (𝑗𝑅𝑅𝑗)))
18 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗𝑅𝑅𝑗) → 𝑅𝑗)
1917, 18syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ) → (𝑗 < 𝑅𝑅𝑗))
20193impia 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑗 < 𝑅) → 𝑅𝑗)
214, 20sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝑅𝑗)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝑅𝑗)
23 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼𝑗𝑅𝑗))
2422, 23syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗))
2524expd 452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 = 𝑅 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2612, 25jaoi 394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗)))
2726impcom 446 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
28273adant1 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → 𝐼𝑗))
2928imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼𝑗)
30 lbfzo0 12464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ (#‘𝑃) ∈ ℕ)
3130biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 0 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
32 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 0 → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 0 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
3331, 32syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 0 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
34 pthd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
35 fzo0end 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑃)))
3634, 35syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝑅 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
37 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 = 𝑅 → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)) ↔ 𝑅 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
3836, 37syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 = 𝑅 → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
3933, 38jaoi 394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃))))
4039impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
41403adant1 1077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)))
43 neeq1 2852 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝑗𝐼𝑗))
44 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐼 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝐼))
4544neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
4643, 45imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4746rspcv 3295 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝐼𝑗 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗))))
4929, 48mpid 44 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗)))
50 nesym 2846 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5149, 50syl6ib 241 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
5251ralimdva 2958 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
533, 52syl5bi 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
542, 53mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
55 ralnex 2988 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅) ¬ (𝑃𝑗) = (𝑃𝐼) ↔ ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
5654, 55sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
57 pthd.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
58 wrdf 13265 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
59 ffun 6015 . . . . . 6 (𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V → Fun 𝑃)
6057, 58, 593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝑃)
61603ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → Fun 𝑃)
62 fvelima 6215 . . . . 5 ((Fun 𝑃 ∧ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅))) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼))
6362ex 450 . . . 4 (Fun 𝑃 → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6461, 63syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ((𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)) → ∃𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑃𝑗) = (𝑃𝐼)))
6556, 64mtod 189 . 2 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
66 df-nel 2894 . 2 ((𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)) ↔ ¬ (𝑃𝐼) ∈ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
6765, 66sylibr 224 1 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ ∧ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 = 𝑅)) → (𝑃𝐼) ∉ (𝑃 “ (1..^𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∉ wnel 2893  ∀wral 2908  ∃wrex 2909  Vcvv 3190   class class class wbr 4623   “ cima 5087  Fun wfun 5851  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   < clt 10034   ≤ cle 10035   − cmin 10226  ℕcn 10980  ..^cfzo 12422  #chash 13073  Word cword 13246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254 This theorem is referenced by:  pthdlem2  26567
 Copyright terms: Public domain W3C validator