Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthsfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthsfval 40924
Description: The set of paths (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthsfval (𝐺𝑊 → (PathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅)})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝑊,𝑝

Proof of Theorem pthsfval
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biidd 250 . 2 ((𝐺𝑊𝑔 = 𝐺) → (Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ↔ Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓)))))
2 id 22 . 2 (𝐺𝑊𝐺𝑊)
3 1wlksv 40821 . . . 4 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝} ∈ V
4 trlis1wlk 40902 . . . . 5 (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝)
54ssopab2i 4913 . . . 4 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝} ⊆ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝}
63, 5ssexi 4721 . . 3 {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝} ∈ V
76a1i 11 . 2 (𝐺𝑊 → {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ 𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝} ∈ V)
8 df-pths 40920 . 2 PathS = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝑔)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅)})
9 biidd 250 . 2 ((𝐺𝑊𝑔 = 𝐺) → (((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅ ↔ ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅))
101, 2, 7, 8, 9fvmptopab2 6568 1 (𝐺𝑊 → (PathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun (𝑝 ↾ (1..^(#‘𝑓))) ∧ ((𝑝 “ {0, (#‘𝑓)}) ∩ (𝑝 “ (1..^(#‘𝑓)))) = ∅)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3167  cin 3533  c0 3868  {cpr 4121   class class class wbr 4572  {copab 4631  ccnv 5022  cres 5025  cima 5026  Fun wfun 5779  cfv 5785  (class class class)co 6522  0cc0 9787  1c1 9788  ..^cfzo 12284  #chash 12929  1Walksc1wlks 40793  TrailSctrls 40896  PathScpths 40916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-hash 12930  df-word 13095  df-1wlks 40797  df-trls 40898  df-pths 40920
This theorem is referenced by:  isPth  40926  PthisTrl  40928  pthdepissPth  40938
  Copyright terms: Public domain W3C validator